Música – Série Harmônica

Música – Série Harmônica

As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno.

Dando prosseguimento a atividade de relacionar a música com a pintura, mais primitivamente, os sons e as cores, é preciso nos embasarmos com informações necessárias às análises que faremos futuramente na associação das duas artes.

Algo então importante a ser apresentado é a série harmônica na constituição do som obtido pelo “soar”de um instrumento.

Quando se toca uma corda de um violão, por exemplo, a corda vibra em toda a sua extensão e produz um nota que é chamada de nota fundamental, que é a nota que dá seu nome. Se tocar a quinta corda do violão, por exemplo, ouvirá a nota lá (fundamental).

Mas se pudesse ampliar a visão da vibração da corda, veria que em um segundo momento, ela formaria uma espécie de “nó” exatamente no meio da corda, como se a dividisse em duas cordas vibrando simultaneamente , cada qual com o dobro da freqüência da vibração original (fundamental). E isso aconteceria sucessivamente. A vibração original da corda seria dividida em 3, depois em 4 e assim por diante, gerando os harmônicos da nota fundamental.

1(f) vibração do harmônico fundamental

seguido dos próximos 15 harmônicos

Pitágoras foi quem mais se destacou nas pesquisas, experimentos e descobertas desta área. Estudando as propriedades do som e das notas, observou que existem notas que mantém uma relação harmoniosa, ou seja, que são agradáveis ao ouvido. A partir desta observação foi possível construir uma escala em que cada nota mantém uma relação bem definida com a outra (como mencionado em artigo anterior).

No caso do violão, devido à limitação da elasticidade da corda, os primeiros harmônicos soam com maior força que os posteriores e exercem um papel mais importante na determinação da forma de onda e conseqüentemente, no timbre do instrumento.

Veja na tabela abaixo os 16 harmônicos obtidos a partir da nota Lá:

Harmônicos Lá

Nota Freqüência(Hz)

1(F) Lá 110

2 Lá2 220

3 Mi3 330

4 Lá3 440

5 Do#4 550

6 Mi4 660

7 Sol4 770

8 Lá4 880

9 Si4 990

10 Do#5 1100

11 Ré#5 1210

12 Mi5 1320

13 Fá#5 1430

14 Sol5 1540

15 Sol#5 1650

16 Lá5 1760

Se entendermos que o som de uma nota é a resultante da sobreposição de todos os seus harmônicos, começamos a entender por que instrumentos tocando uma mesma nota possuem “timbres” diferentes.

Formato da onda resultante da sobreposição

de 3 harmônicos.

Com isso, uma simples nota carrega consigo toda uma séria de outras notas que juntas moldam seu timbre, corpo e textura.

Séries Harmônicas na Física.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da freqüência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta freqüência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier.

Somatória Infinita de uma PG

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela expressão:

, onde q (razão) é diferente de 1. Alguns casos em que a razão q pertence ao intervalo –1 < q < 1, verificamos que quando o número de elementos n se aproxima do infinito (+∞), a expressão qn tende ao valor zero. Portanto, substituindo qn por zero na expressão da soma dos termos de uma PG finita teremos uma expressão capaz de determinar a soma dos termos de uma PG infinita dentro do intervalo –1 < q < 1, observe:

3. A série harmônica na Matemática.

A série harmônica é a série

Os termos da série harmônica estão decrescendo e tendendo para zero. À primeira vista parece que a “soma” tende a um número finito.

Hoje em dia, com o uso do computador, podemos fazer cálculos experimentais interessantes:

Vamos supor que levamos 1 segundo para somar cada termo.

• Uma vez que o ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, neste período de tempo seríamos capazes de somar a série até n = 31.557.600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17.

• Em 10 anos a soma chegaria perto de 20.

• Em