Temas Abordados: Limites Envolvendo o Infinito

Temas abordados: Limites envolvendo o infinito; Ass ́ıntotas

Se ̧c ̃oes do livro: 2.4

1) Explique o que significa dizer que a reta x = a ́e uma ass ́ıntota vertical da fun ̧c ̃ao f . Em

seguida, considerando as fun ̧c ̃oes esbo ̧cadas nos gr ́aficos abaixo, determine as ass ́ıntotas

verticais sugeridas por cada um deles.

x

y

−1

Figura 1

x

y

−1

1

π/2

−π/2

Figura 2

x

y

−2

2

3

Figura 3

2) No limite lim

x→a f (x)/g(x), quando o numerador se aproxima de um n ́umero diferente de

zero e o denominador tende para zero com um sinal definido, temos um limite infinito.

Neste caso, ́e necess ́ario estudar o sinal da fra ̧c ̃ao quando x est ́a pr ́oximo de a, de modo

a decidir se o limite ́e +∞ ou −∞. Por exemplo,

lim

x→1+

x2 + 4x − 2

1 − x3 = −∞,

pois o numerador se aproxima de 12 + 4 · 1 − 2 = 3 > 0 e o denominador se aproxima de

zero por valor negativos, pois x > 1 (lembre que o limite ́e pela direita). Assim, a fra ̧c ̃ao

tem sinal negativo e, em m ́odulo, fica muito grande.

Siga este procedimento para calcular os limites abaixo. (veja v ́ıdeo)

(a) lim

x→3−

2x − 8

x − 3 (b) lim

x→2

1 − 4x

(x − 2)2

(c) lim

x→(−1)+

x2 − 2x + 4

x2 + x (d) lim

x→2−

√4x + 8

−x2 + 3x − 2

3) Calcular ass ́ıntota verticais n ̃ao ́e o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exem-

plo, o denominador da fun ̧c ̃ao f (x) = (x2 − 4)/(x − 2) se anula em x = 2, mas

lim

x→2

x2 − 4

x − 2 = lim

x→2

(x − 2)(x + 2)

(x − 2) = 4,

e portanto x = 2 n ̃ao ́e ass ́ıntota vertical. Para as fun ̧c ̃oes abaixo, determine os can-

didatos `a ass ́ıntota para, em seguida, checar se cada um deles ́e de fato ass ́ıntota.

(veja Exemplo 4 do Texto 1)

(a) f (x) = 3x + 12

x2 − 3x − 28 (b) f (x) = x

x3 − x (c) f (x) = sen(x)

x

Lista de Exerc ́ıcios – Semana 03 - P ́agina 1 de 4

4) Explique o que significa dizer que a reta y = L ́e uma ass ́ıntota horizontal da fun ̧c ̃ao f .

Em seguida, considerando os gr ́aficos esbo ̧cados no Exerc ́ıcio 1, determine as ass ́ıntotas

horizontais sugeridas por cada um deles.

5) Em alguns casos, o c ́alculo do limite no infinito de fra ̧c ̃oes pode ser feito identificando-

se os termos dominantes do numerador e do denominador, e colocando-se um deles em

evidˆencia. Por exemplo,

lim

x→−∞

x2 + 4x − 2

1 − x3 = lim

x→−∞

x3( 1

x + 4

x2 − 2

x3 )

x3( 1

x3 − 1) = lim

x→−∞

1

x + 4

x2 − 2

x3

1

x3 − 1 = 0

−1 = 0.

Siga este procedimento para calcular os limites abaixo. (veja v ́ıdeo)

(a) lim

x→+∞

4x + 9

2x2 − 4x − 1 (b) lim

x→−∞

4x2 − 4x + 8

8x − x2 (c) lim

x→+∞

x2 + 4

x − 1

(d) lim

x→−∞

8x3 − 3

2x3 + 4x − 7 (e) lim

x→±∞

√x2 − 2x + 2

x + 1 (f) lim

x→−∞

x + 3

√x

x2 + 1