Um estudo sobre os modelos de grandes deformações em corpos elásticos

Um estudo sobre os modelos de grandes deformações em corpos elásticos

Covre, L. 1*; Loeffler, C. F. 2

1 Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil

2 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil.

* e-mail: [e-mail]

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Resumo

Este trabalho examina e compara os modelos de deformação não linear de Green e a deformação verdadeira (True Strain). Em algumas situações não tão incomuns, a hipótese de pequenas deformações em modelos de engenharia estrutural não pode ser aplicada. Isto ocorre quando ocorre significativa mudança na conformação geométrica do corpo, relativamente à configuração original. Para pequenas deformações, ambos os modelos são aproximadamente iguais, mas para grandes deformações, o comportamento é completamente diferente: enquanto o modelo de Green prediz menores deslocamentos em relação ao modelo linear, a deformação verdadeira prevê maiores deslocamentos. Aqui são analisadas as particularidades dos dois modelos não-lineares e demonstra-se que o modelo de Green para os casos uniaxiais é matematicamente inconsistente, enquanto que o modelo de deformação verdadeira apresenta uma série de predicados, entre os quais: a possibilidade de considerar as deformações plásticas inerentes ao processo; a capacidade de inclusão no modelo da variação da área transversal do corpo; a sua consistência associativa, quando o carregamento total é aplicado em etapas distintas.

Abstract

This work examines and compares the models of nonlinear Green Strain and True Strain. In some non-unusual situations, the hypothesis of small strains in structural engineering models cannot be applied. This occurs when there is a significant change in the geometric shape of the body relatively to the original shape configuration. For small deformations, both models are approximately equal, but for large deformations, the behavior is completely different: while the Green model predicts smaller displacements with respect to the linear model, the true strain predicts greater displacements. Here  the particularities of the two nonlinear models are examined and it is demonstrated that the Green model for one dimensional cases is mathematically inconsistent, whereas the true strain model presents a series of predicates, among which: the possibility of considering the inherent plastic deformations along the process; the capability for inclusion of the cross-sectional area variation of ​​the body in the model; the  associative consistency when the loading  is applied  in distinct steps.

Keywords: Large Strain; Green Model for Strain; True Strain.

1. Introdução

A teoria das grandes deformações é essencial para a mecânica dos sólidos, pois fornece os recursos matemáticos necessários para descrever o comportamento mecânico de elementos tais como cordas, cabos, chapas e corpos em geral sujeitos à deformação plástica. Estes sólidos sofrem alterações significativas em sua conformação geométrica e estas não são validadas pela teoria das deformações infinitesimais, em que se assume que não ocorrer alteração significativa entre as configurações original e deformada do corpo.

2. Descrição Matemática da Deformação

2.1 Modelo Geral

Uma sequência de configurações que resulta do movimento de um corpo flexível pode ser descrita a partir de uma configuração de referência X, onde a nova configuração x é dada por um operador K de modo que [1]:

[pic 3][pic 4]          

Este operador K está sujeito, entre outras condições, a seguinte restrição [1]:

[pic 5]

Como as diferentes configurações são, em realidade, transformações no estado do corpo, e o determinante de uma transformação dá a ideia da conservação ou não do volume, a condição J> 0 exclui da categoria de deformação qualquer movimento que desintegre o corpo. Assim:

        

                    0< J < 1 → Contrações

              J = 1 →      Movimentos de corpo rígido

                    J > 1   →    Expansões

Define-se como deformação o mapeamento de uma configuração sobre outra configuração. Para melhor apreensão, admita duas configurações distintas de um determinado corpo Ω(X). No interior deste corpo, considere dois pontos distanciados de um infinitésimo dX, conforme apresentado na Figura 1:

[pic 6]

Figura 1: Mudança da configuração inicial de um determinado corpo.

As relações entre os pontos na configuração inicial e deformada podem ser expressas pelo operador K. Então:

[pic 7]

[pic 8]

Pela definição do gradiente:

[pic 9]

Logo:

[pic 10]

Assim, o diádico definido por F(X,t), chamado de gradiente de deformação, transforma um elemento dX na configuração de referência em um elemento dx na configuração deformada [2].

2.2 O Campo de Deslocamentos

Denomina-se campo de deslocamentos o campo vetorial u(X,t) definido pela relação:  

[pic 11]

É claro que o movimento do corpo de uma região para outra no espaço pode preservar as distâncias ou o mapeamento relativo entre os pontos. Seria este o movimento de corpo rígido. Contudo, se nessa alteração de posição no espaço as distancias relativas se alterarem, há deformação no sentido usual. Assim, aplicando-se o operador gradiente na expressão dos deslocamentos, obtém-se:

[pic 12]

Pode-se depreender por esta última expressão que numa transformação de uma configuração em outra que o gradiente de u(X,t) representa a alteração relativa às configurações.

2.3 Medidas de Deformação

Na busca de uma medida para quantificar-se a deformação, que é uma grandeza diádica, é interessante efetuar o seguinte produto escalar:

[pic 13]

Considerando que:

[pic 14]

[pic 15]

Pode-se estabelecer a relação entre comprimentos antes e depois do movimento:

[pic 16]

Na equação (12), E é o denominado Tensor de Green [2], que fornece uma medida conveniente, embora arbitrária, para se expressar a deformação. Além disso, sua consistência é atestada pelo seu uso ostensivo em muitas aplicações na engenharia.