A Probabilidade e Estatística

Andrey B. Sarmento | www.duvi.com.br

1 – Seja X o número de sucessos em n repetições de um mesmo experimento aleatório binário, Bp. Sendo  , determine:[pic 2][pic 1]

Resolução:

Temos que a variável aleatória X tem distribuição Binomial, pois trata-se da contagem de sucessos de um experimento do tipo sucesso-fracasso em n repetições desse experimento. Os parâmetros do modelo Binomial são n e p, onde n representa o número de repetições do experimento do tipo sucesso-fracasso e p é a probabilidade de sucesso em uma única repetição do experimento (lembrando que a probabilidade de sucesso permanece a mesma para todas as n repetições do experimento).

Então: [pic 3]

A função de probabilidade de uma variável Binomial(n; p) é dada por:

[pic 4]

Portanto, a distribuição de X será:

[pic 5]

.[pic 6]

1. [pic 7]

Teremos,

[pic 8]

1. O valor x que tem o maior valor de P{X=x}

[pic 9]

Analisando o gráfico a cima, percebemos que o valor de x que dá probabilidade máxima está entre 274 e 282. A tabela a baixo mostra os valores da probabilidade para os valores de x entre 274 e 282, temos:

X	P(X=x)
274	0,024780
275	0,025366
276	0,025848
277	0,026222
278	0,026481
279	0,026623
280	0,026647
281	0,026552
282	0,026340

Com isso, o valor de x que tem o maior valor em  é , que também é o valor esperado para X, pois: [pic 10][pic 11][pic 12]

1. [pic 13]

Temos, apenas analisando gráfico da , que[pic 14]

[pic 15]

1. O intervalo mais estreito (a, b) com P{a≤X≤b} ≥ 0,95

Usando a aproximação da Binomial para Normal, teremos:

[pic 16]

Agora, teremos que ter  e , tal que:[pic 17][pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Com a consulta de uma tabela (), obtemos:[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Então, chegamos que

 e [pic 26][pic 27]

2 - Às vésperas de uma eleição em um colégio eleitoral com milhões de eleitores,  deles estão decididos a votar no candidato A. Se uma amostra de 1200 eleitores for sorteada aleatoriamente desta população, qual a probabilidade de que a fração amostral de eleitores daquele grupo caia entre 42 e 47%?[pic 29][pic 28]

Resolução:

X: número de eleitores da amostra de 1200 que estão decididos em votar no candidato A.

Como a população, neste caso, tem um tamanho consideravelmente grande (“milhões de eleitores”), podemos manter na amostra a probabilidade de um eleitor votar no candidato A, isto é, . Então podemos assumir que a variável aleatória X terá distribuição  [pic 30][pic 31]

Agora, dizer que a fração amostral caia entre 42 e 47%, é equivalente ao seguinte evento:

[pic 32]

Sendo assim, calcularemos a probabilidade desejada:

[pic 33]

Código para calcular  no software R:[pic 34]

> pbinom(564, 1200, 0.45) - pbinom(503, 1200, 0.45)

[1] 0.9053807[pic 35]

3 - Um experimento binário Bp, com p desconhecido, for repetido n vezes, e seja X o número total de sucessos.

Resolução:

Temos que [pic 36]

1. Seja n=30, e considere que o resultado foi X=1. Use seu “bom senso” e chute: Que subintervalo de [0, 1] você considera que são os valores de p compatíveis com este resultado?

Dado que o experimento binário foi repetido 30 vezes e o número de sucessos obtidos foi 1, um valor possível para p seria a proporção de número de sucessos e número de repetições do experimento binário. Isto é,

[pic 37]

Ora, como  e , teríamos[pic 38][pic 39]

[pic 40]

Agora, um subintervalo que p pode estar contido é .[pic 41]

1. Trace o gráfico de P{X=1}, em função de p, para todo o p no intervalo [0 1].

A distribuição de probabilidade de X é dada por:

[pic 42]

Logo,

[pic 43]

Fazendo  para traçar o gráfico, chegamos em[pic 44]

[pic 45]

Portanto, obtemos o seguinte gráfico para os valores de p no intervalo :[pic 46]

[pic 47]

1. O resultado em (b) lança alguma luz sobre a questão em (a)?

Sim. Na questão (a) obtemos o subintervalo . Agora, percebe-se no gráfico obtido em b) que o máximo valor da função  ocorre próximo deste subintervalo.[pic 48][pic 49]

1. Refaça (c) para n=300 e X=10

Temos,

[pic 50]

A função  não lança nenhuma informação para os valores de p na questão (a), pois o parâmetro n é distinto, logo, não faz sentido fazer tais comparações dado que são funções distintas.[pic 51]