Matematica financeira, revisão sucinta

Revisão de Matemática Financeira

Juros – definição e relação com a política econômica

Taxa de juros

Equivalência de Capitais

Simbologia

[pic 1][pic 2]

Diagrama de Fluxo de Caixa

É uma linha de tempo com as setas para cima representando as entradas de caixa e as setas para baixo representando as saídas de caixa

Taxa de Juros – percentual (por ex. 10% a.a.) e unitária (0,10)

10% = 10/100 = Taxa percentual

0,10 = Taxa unitária

Capitalização Simples - Os juros incidem sobre o capital inicial

Exemplo:

O capital de R$ 100 aplicados em 4 anos, com juros de 10% ao ano,  proporcionará R$ 140 de Montante(FV).

Capitalização Composta- Os juros incidem sobre o saldo acumulado

Exemplo: Capitalização Composta

Calcular o valor de resgate de um título financeiro de R$ 100, aplicado durante 4 anos, a juros de 10% a.a..

Preparar o diagrama de fluxo de caixa.

Anos	Capital no início do ano	Juros do ano	Montante no final do respectivo ano (Capital no início + juros do período)
1	100	0,10 . 100	100 + 0,10 . 100 = 100 . (1+0,10)
2	100 . (1+0,10)	0,10 . [100 . (1+0,10) ]	100 . (1+0,10) + 0,10 . [ 100 . (1+0,10) ]= = 100 . (1+0,10). (1+0,10) ]= = 100 . (1+0,10)2
3	100 . (1+0,10)2	0,10 . [100 . (1+0,10)2]	[100 . (1+0,10)2] + 0,10 . [100 . (1+0,10)2] = [100 . (1+0,10)2]. (1+0,10 ) =[100 . (1+0,10)3
4	[100 . (1+0,10)3	0,10 .[100 . (1+0,10)3	[100 . (1+0,10)3 + 0,10 .[100 . (1+0,10)3 =100 . (1+0,10)3 . ( 1+ 0,1) =100 . (1+0,10)4

Montante = FV    [pic 3]    FV=PV ( 1+i )n Fórmula do Montante (FV)

Valor Atual (Valor Presente) = PV        [pic 4]   PV=FV/ ( 1+i )n

Anuidade

Valor Presente e Taxas de Desconto - Taxa de desconto é a taxa de capitalização.

O valor presente fornece base para comparar a lucratividade de vários projetos ou  investimentos diferentes durante um período de vários anos.

Valor Presente de uma anuidade

Exemplo: - Cálculo do valor presente das anuidades – método longo

Calcular o valor presente de uma anuidade de $100 para um período de 3 anos. Considere uma taxa de desconto de 10%.

Valor Presente de Fluxos  de Caixa Variáveis

Valor Presente de Perpetuidades

Taxa nominal e taxa equivalente

Taxas Equivalentes de Juros

Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante para o mesmo período com capitalizações diferentes.

Por exemplo:

O montante de um capital em um ano a uma taxa anual deve produzir o mesmo montante do mesmo capital em 12 meses a uma taxa mensal

Montante com taxa anual, por um ano:        [pic 5]

Montante com taxa mensal por 12 meses:  [pic 6]

[pic 7] =     [pic 9]   [pic 10] = [pic 11][pic 8]

Dado uma taxa i mensal, para encontrar a taxa anual basta passar o 1 para o outro lado da equação, com sinal trocado:

 i = [pic 12] - 1

Considerando uma taxa mensal de 2% a taxa anual seria = (1+0,02)12 – 1 = 0,2682 ou 26,82%.

Dado uma taxa anual, para encontrar a taxa mensal, devemos também considerar que produzem o mesmo montante.

[pic 13] =     [pic 14]

[pic 15] =     [pic 17]   [pic 18] = [pic 19][pic 16]

 

Por exemplo:

[pic 20] = [pic 21]

Extraindo a raiz 12 dos dois lados da equação, têm-se:

[pic 22] = [pic 23]          [pic 24]          [pic 25]         =             [pic 26]

(1,2682)1/12 = (1+ i)       [pic 27]     (1,2682)0,08333 = (1+ i)

1,02 = 1+ i       [pic 28]       1,02 – 1 = i       [pic 29]        i = 0,02 ou 2%  

EXERCÍCIOS

1. Capitalização Simples versus Capitalização Composta

Calcular o valor de resgate de um título financeiro de R$ 100.000,00, aplicado durante 4 anos, a juros de 20% a.a..

Preparar o diagrama de fluxo de caixa e preencher os quadros abaixo e desenhar o gráfico de linha com os anos no eixo dos X(abscissas) e o capital acumulado no eixo dos Y(ordenadas).