Regressão Quadrática

Regressão Quadrática

A regressão quadrática é um tipo de regressão não-linear na qual uma curva parabólica é ajustada a um conjunto de dados de x e y, para encontrar uma função polinominal de segundo grau que expresse a relação entre x e y com considerável exatidão. Desse modo, valores da variável dependente y podem ser previstos para valores de x que não estão disponíveis no grupo de dados. A função ajustada tem a forma:

[pic 2]

Os parâmetros A, B e C são dados pela solução do seguinte sistema linear:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Exemplo: A tabela apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda correspondentes em determinado período:

Quantidade vendida	145	150	173	185	210
Preço de venda	100	15	80	38	59

Ajustar uma função parabólica aos dados e prever a quantidade vendida para um preço de 120.

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Resolução:

Plotando-se os dados, percebe-se a presença de um padrão parabólico, como suspeitava-se:

[pic 7]

Calcula-se então os elementos do sistema para encontrar os parâmetros A, B e C:

x	y	xy	x2	x3	x4	x2y
100	145	14500	10000	1000000	100000000	1450000
15	150	2250	225	3375	50625	33750
80	173	13840	6400	512000	40960000	1107200
38	185	7030	1444	54872	2085136	267140
59	210	12390	3481	205379	12117361	731010
292	863	50010	21550	1775626	155213122	3589100

O sistema então torna-se:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

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Resolvendo o sistema pela Regra de Cramer, obtem-se os valores de A, B e C:

A = -0,0298

B = 3,342

C = 105,9

A função quadrática que relaciona y (quantidade) a x (preço) passa então a ser:

[pic 12]

Para um preço de x = 120, a quantidade vendida prevista é:

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