A HIDRODINÁMICA TEOREMA DE BERNOULLI

HIDRODINÁMICA

TEOREMA DE BERNOULLI 

 

A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar fenómenos tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizada hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema.  

 

Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al cabo de cierto intervalo de tiempo Δt (delta t) , el fluido ocupará una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la cañería. ¿Cuál es la fuerza “exterior” a la  porción V que la impulsa por la cañería?  [pic 1]

Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido “que viene de atrás” ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1, puede expresarse corno P1 . A1, y está aplicada en el sentido del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido “que está adelante” ejerce una fuerza sobre la porción V que puede expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre la porción de fluido puede

expresarse en la forma: 

 

Tr = F1 . Δx1 – F2. Δx2 = P1. A . 1 Δx1  – P2. A . 2 Δx2  

 

Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Δt (delta t) es el mismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto:  

 

1. = A1 . Δx1  = A2. Δx2  entonces Tr  = P1 . V –  P2 . V

 

El trabajo del fluido sobre esta porción particular se “invierte” en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:  

 

T = ΔEcinética + ΔEpotencial  =  (Ec2 — Ec1) + (Ep2 — Ep1)  

 

P1 . V — P2 . V = (1/2 .m . V22 — 1/2 . m. V12) + (m . g . h2 — m . g . h1)  

 

Considerando que la densidad del fluido está dada por d=m/V podemos acomodar la expresión anterior para demostrar que:  

 

P1 + 1/2 . δ.  V12 + δ . g. h1 = P2 + 1/2 . δ. V22 + δ . g . h2 

 

Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada por:  

 

P + 1/2. δ . V² + δ. g. h = constante  

 

Veremos la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.  

 

 

Fluido humano. Una multitud de espectadores pretende salir de una gran sala de proyecciones al término de la función de cine. El salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo sólo una pequeña puerta que franquea el paso a una galería estrecha que conduce hasta la calle. La gente, impaciente dentro de la sala, se aglomera contra la puerta, abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con que avanza este “fluido humano” antes de cruzar la puerta es pequeña y la presión es grande. Cuando las personas acceden a la galería, el tránsito se hace más rápido y la presión se alivia.  Si bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso (incluso podría ser turbulento), constituye un buen modelo de circulación dentro de un tubo que se estrecha. Observamos que en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la presión es menor.  

 

 

 

APLICACIONES: 

 

EL TEOREMA DE TORRICELLI

 

Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como el de la figura. Si destapamos el caño, el agua circula. ¿Con qué velocidad? ¿Cuál será el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica PA=PB=Patm. Como el diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, la velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito es muy lenta comparada con la velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla igual a cero, VA = 0 [pic 2]