[pic 1] |
1. INTRODUÇÃO:
A função f(x) = a + b.sen(cx + d), tem por base a função seno mais simples definida por f(x) = sen x. A cada um dos parâmetros a, b, c e d, acrescentados à função f(x) = sen x, teremos modificações no gráfico desta função, modificações estas que veremos a seguir.
Os gráficos das funções seno e co-seno se repetem em intervalos constantes. Por este motivo são chamadas de funções periódicas.
2. O GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = sen x.
Dando valores a x, e calculando os valores de sen x, teremos o gráfico a seguir: |
[pic 2] |
À distância entre dois pontos de máximos ou o intervalo de repetição da função denominamos período. No caso em estudo, o período corresponde a 2π radianos, que corresponde a uma volta no círculo trigonométrico.
Define-se a amplitude da função á metade da distância vertical entre um mínimo e um máximo, ou seja
A = (ymax - ymin)/2. Na figura nota-se que a amplitude é igual a 1 unidade.
Um outro elemento importante do gráfico é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para a função f(x), o conjunto imagem é [-1, 1] que corresponde à variação do seno de um arco.
3. A FUNÇÃO f(x) = b.sen x
Tomemos por exemplo o gráfico de f(x) = 4.sen x.
Ao acrescenta o parâmetro 4 à função, teremos cada ordenada y da função f(x) = sen x, multiplicada por 4. Isto implicará em uma expansão de fator 4 na direção do eixo dos y. Vejamos o gráfico: |
[pic 3] |
Para este gráfico o período permanece, mas a amplitude passa a ser igual a 4 unidades. Podemos concluir que o fator b de f(x) = b.sen x, corresponde exatamente a esta amplitude. O período permanece igual a 2p rad e o conjunto imagem modifica-se para [-4, 4].
4. A FUNÇÃO f(x) = a + b.sen x
Vamos construir o gráfico de f(x) = 2 + 4.sen x para que se possa verificar o efeito do acréscimo do parâmetro "a". |
[pic 4] |
Pode-se notar que o gráfico obtido corresponde ao anterior onde cada ponto deslocou-se 2 unidades para cima. O período e a amplitude permaneceram. O conjunto imagem passou a ser [-2, 6]. |
5. A FUNÇÃO f(x) = a + b.sen cx
Para exemplo tomemos a função f(x) = 2 + 4.sen [(1/2)x].
|
[pic 5] |
Neste caso, o conjunto imagem permanece [-2, 6] e a amplitude permanece igual a 4. Entretanto o período que era, nos casos anteriores iguais a 2p rad, neste modificou-se para 4π rad. Note que c = 1/2 implicou em ter-se um período multiplicado por 2. |
6. A FUNÇÃO f(x) = a + b.sen (cx + d).
O parâmetro "d" é chamado de fase. Vejamos sua influência na equação tomando como exemplo a função f(x) = 2 + 4.sen[(1/2).x + π/3]. O gráfico em azul corresponde a f(x) = 2 + 4.sen (1/2).x enquanto que o gráfico em vermelho representa f(x) = 2 + 4.sen[(1/2).x + π/3].
|
[pic 6] |
Note que o parâmetro p/3 fez o gráfico de f(x) = 2 + 4.sen (1/2).x deslocar p/3 para a direita. |
|
7. CONCLUINDO
Do exposto acima podemos concluir:
na equação f(x) = a + b.sen(cx + d),
(1) "a" equivale ao deslocamento vertical do gráfico;
(2) "b" é a amplitude do gráfico;
(3) [a - b, a + b] é o conjunto imagem;
(4) 2π/c é o período da função; e
(5) "d" é o deslocamento horizontal do gráfico. |
|
8. A FUNÇÃO CO-SENO
Os parâmetros acima também são válidos para a função f(x) = a + b.cos (cx + d). A única diferença consiste que em f(x) = cos x, tem f(0) = 1 enquanto que em f(x) = sen x, f(0) = 0. |
Exibindo os gráficos das funções seno (em azul) e co-seno (em vermelho) , temos: |
[pic 7] |
No gráfico vê-se que o gráfico da função co-seno é igual ao gráfico da função seno avançada em (1/4) do período. |
