Probabilidade Distribuições de Probabilidade

7  Distribuições de Probabilidade

[pic 1]

Após termos visto as definições de V.A.D. e V.A.C., citaremos as principais distribuições de probabilidade relacionadas a estas variáveis.

7.1 Distribuições Discretas de Probabilidade

7.1.1 Distribuição Binomial

O termo "Binomial" é utilizado quando uma variável aleatória esta agrupada em duas classes ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a deixar bem claro a qual categoria pertence determinada observação; e as classes devem ser coletivamente exaustivas, de forma que nenhum outro resultado fora delas é possível

Sejam, "p" probabilidades de  sucesso  e  "q"  probabilidades de  falha,  ou  seja,  p + q = 1.

A probabilidade de x sucessos em n tentativas é dado  por  px  e  de (n - x) falhas em (n - x) tentativas é dado por qn-x, onde o número de vezes em que pode ocorrer x sucessos e (n-x) falhas é dado por:

[pic 2]

logo, a probabilidade de ocorrer x sucessos com n tentativas será

[pic 3]

Propriedades necessárias para haver uma utilização da Distribuição Binomial:

1a) Número de tentativas fixas;

2a) Cada tentativa deve resultar numa falha ou sucesso;

3a) As probabilidades de sucesso devem ser iguais para todas as tentativas;

4a) Todas as tentativas devem ser independentes.

7.1.11 Esperança Matemática de Distribuição Binomial

[pic 4]

7.1.2.2 Variância de uma Distribuição Binomial

[pic 5]

7.1.2 Distribuição de Poisson

Quando numa distribuição binomial o tamanho "n" das observações for muito grande e a probabilidade "p" de sucesso for muito pequena, a probabilidade x de ocorrência de um determinado número de observações segue uma Distribuição de Poisson.

A aplicação da distribuição segue algumas restrições:

- Somente a chance afeta o aparecimento do evento, contando-se apenas com a sua ocorrência, ou seja, a probabilidade de sucesso "p".

- Uma vez não conhecido o número total de eventos, a distribuição não pode ser aplicada.

7.1.2.1 Esperança Matemática da Distribuição de Poisson

E(x) =

7.1.2.2 Variância da Distribuição de Poisson

[pic 6]

7.2 Exercícios

1) Admitindo-se o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter:

a) 4 filhos e 2 filhas                b) 3 filhos e 3 filhas

2) Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:

a) nenhuma menina;                b) 3 meninos                c) 4 meninos

3) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:

a) X vencer exatamente 3 partidas;

b) X vencer ao menos uma partida;

c) X vencer mais da metade das partidas;

d) X perder todas as partidas;

4) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:

a) acertar exatamente 2 tiros;                b) não acertar nenhum tiro.

5) Num teste de certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas ?

6) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:

a) nenhuma defeituosa (use Binomial e Poisson)

b) 3 defeituosas;

c) mais do que uma boa;

7) Uma fabrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu a cada 5.000 km.

a) qual a probabilidade que num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado ?

b) Qual a probabilidade de um carro andar 8.000 km sem estourar nenhum pneu ?

8) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de:

a) receber 4 chamadas num dia;

b) receber 3 ou mais chamadas num dia;

c) 22 chamadas numa semana.

9) A média de chamadas telefônicas em uma hora é 3. Qual a probabilidade:

a) receber exatamente 3 chamadas numa hora;

b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos;

c) 75 chamas num dia;

10) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede 2 x 2 m ?

11) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que um dado ano tenha havido: a) nenhum suicídio; b) 1 suicídio; c) 2 ou mais suicídios.

12) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:

a) nenhum erro;

b) 100 erros em 200 páginas.

7.3 Distribuições Contínuas de Probabilidade

7.3.1 Distribuição Uniforme ou Retangular

É uma distribuição de probabilidade usada para variáveis aleatórias contínuas, definida num intervalo [pic 7], e sua função densidade de probabilidade é dada por:

[pic 8].

[pic 9]

FIGURA 7.1 - Representação de uma Distribuição Uniforme

7.3.1.1 Esperança Matemática da Distribuição Uniforme

[pic 10]

7.3.1.2 Variância da Distribuição Uniforme

[pic 11]

7.3.2 Distribuição Normal ou Gaussiana