REVISÃO DA TEORIA DA PROBABILIDADE INICIAL

REVISÃO DA TEORIA ELEMENTAR DAS PROBABILIDADES

Em Estatística Indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população a partir do conhecimento de uma amostra, ou ao contrário, a previsão do comportamento esperado de uma amostra retirada de uma população conhecida, temos o cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de cada informação.

Assim por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação informa que se a eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que provavelmente o candidato X teria essa quantidade de votos. É uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer que certamente ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é esperada.

Neste módulo iremos ver o que significa e como são calculadas as probabilidades, ramos de estudo da Matemática e não exatamente da Estatística. Inicialmente iremos verificar casos absolutamente teóricos e posteriormente evoluiremos para situações mais próximas da realidade.

Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e no final do módulo faremos uma revisão teórica, apresentando os conceitos e fórmulas utilizadas na Teoria Elementar das Probabilidades. O importante é você dominar o mecanismo de cálculo da probabilidade.

1.1 - Definições de Probabilidades.

Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, irá encontrar algo do tipo:

Probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo

ou indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança.

Como é fácil de notar esta definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de probabilidade; isto porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se probabilidade utilizando-se seus próprios termos

Deste modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em geometria com as definições de ponto e reta.

Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como freqüência relativa e a abordagem subjetiva.

Antes de seguirmos, no entanto na definição de probabilidade é necessário definir alguns termos que serão utilizados:

• Experimento amostral: São aqueles que apesar de serem repetidos exatamente da mesma maneira não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo: Você pode jogar um dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que irá obter o mesmo resultado.

• Espaço Amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado honesto é dado por:

S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 )

ü Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o experimento não é aleatório.

· Evento: É um determinado subconjunto formado

por um ou mais elementos do espaço amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é formado por:

E = { 1, 2, 3, 5}

1.2 – Cálculos das Probabilidades Elementares.

Usando estes termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:

• Abordagem clássica: É a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja:

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Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.

n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.

n(S) o número total de elementos do espaço amostral.

Por exemplo: Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?

[pic]

• Abordagem como freqüência relativa: É a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. Por exemplo: Jogamos uma moeda 1000 vezes e em 512 destas vezes saiu cara. Podemos dizer por esta definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:

[pic]

• Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Isso pode se dever ao fato da moeda usada não ser honesta (portanto com resultados aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas

não tenha sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta.

• Abordagem subjetiva: Ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, mas complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas num determinado período. Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão.

• Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo de estudo em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é eminentemente teórica e pressupõe experimentos aleatórios em que os elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de determinadas situações não totalmente aleatórias.

Revisão teórica dos principais conceitos.

• Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de acontecimentos. Por exemplos: Realizar uma reação química; Investir em ações; Jogar dados.

• Experimento Matemático ou determinístico: são aqueles em que os resultados podem ser previstos de modo exato utilizando-se a ciência. Por exemplo: Realizar uma reação química.

• Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre

os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes. Por exemplo, jogar dados.

• Experimentos aproximadamente aleatórios: são aqueles que apesar de terem uma tendência de ocorrência não podem ter seus resultados definidos de modo exato pela ciência. Por exemplo: Investir em ações.

• Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos formados por todos os resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, o conjunto formado pelos números 1;2;3;4;5 e 6, resultados possíveis de um jogo de dados.

• Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, os números 2; 4 e 6, evento “números pares” de um jogo de dados.

• Evento simples: aquele formado por um único elemento do espaço amostral. Por exemplo, o número 5 num jogo de dados.

• Evento composto: aquele formado por mais de um elemento do espaço amostral. Por exemplo, os números 1; 3 e 5, evento “números ímpares” de um jogo de dados.

• Evento complementar: de um evento A qualquer, é o evento B (chamado complementar de A), tal que todos os elementos os elementos do espaço amostral que não pertençam a A pertençam a B e vice versa. Observar que S = A+B. Por exemplo, o conjunto A={1,3,5} é complementar ao conjunto B={2,4,6}, num jogo de dados, visto que ao serem somados dão origem ao espaço amostral S={ 1,2,3,4,5,6}. Não falta nem sobrando elemento algum.

• Eventos mutuamente Exclusivos: Suponha dois eventos A e B, no qual a ocorrência de A impede a ocorrência de B e vice versa. Dizemos que eles

são mutuamente exclusivos. Por exemplo: Num jogo de dados a ocorrência de um número par (1,2,3) impede a ocorrência de um número ímpar (2,4,5), portanto são mutuamente exclusivos. Não confunda eventos complementares com eventos mutuamente exclusivos. Todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas o contrário não é verdade.

• Eventos independentes: Dizemos que dois ou mais eventos são independentes, quando eles não exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que lhe é própria, sem influenciar os demais. Por exemplo, o lançamento de duas moedas, simultaneamente.

• Eventos Vinculados ou Condicionados: são eventos cujo aparecimento de um dependa, ou seja, influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento. Por exemplo, retirada de duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira carta existem 52 cartas no baralho, 26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. Portanto, o segundo evento está condicionado ou vinculado com o primeiro.

• Evento soma: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de um ou de outro nos interessa, temos o evento soma. Perceba a importância da palavra ou na formulação do princípio e da idéia de alternativa. Por exemplo: Jogo um dado e quero que saia um número par ou um número primo. Os números pares são: {2,4,6} e os número primos são

{1,2,3,5}. Como me interessa os números pares ou primos, fico satisfeito com a ocorrência de qualquer um dos seguintes números {1,2,3,4,5}. Note que esse conjunto é a soma dos dois anteriores, descontadas as intersecções (no caso o número 2).

• Evento produto: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo experimento e a ocorrência de um e simultaneamente do outro nos interessa, temos o evento produto. Perceba a importância da palavra e na formulação do princípio, e da ideai de obrigação. Por exemplo: Jogo um dado e quero que saia um número par e primo. Os números pares são: {2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa o número seja par e simultaneamente primo, fico satisfeito somente com a ocorrência de número: {2}. Note que esse conjunto é a intersecção dos dois anteriores, ou seja, valores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos,

• Definição de Probabilidades Matemática: é a razão (divisão) entre o número de elementos do evento estudado pelo número de elementos do espaço amostral, ou seja:

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• Definição de Probabilidades Estatística: Presumindo que um experimento é repetido uma quantidade considerável de vezes e seus resultados anotados, definimos probabilidade de ocorrência de eventos daquele experimento como sendo a freqüência relativa do mesmo:

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• Axiomas das probabilidades: são verdades a partir

das quais se estabelecem os conceitos de probabilidades:

1. Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos:

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2. A probabilidade do espaço amostral, ou da soma de todos os eventos possíveis é:

[pic]

3. Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos:

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4. Se o evento A é complementar de B, então:

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• Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, a probabilidade da ocorrência de A ou B ou ambos é dada por:

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Exemplo: Numa caixa existem oito bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 8. Qual a probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela seja múltiplo de 2 ou de 5?

Espaço Amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10

Evento A - múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5

Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2

Intersecção entre A e B: A∩B = {10} -> n(A∩B) = 1

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• Teorema do Produto para Eventos Independentes: Caso tenhamos dois eventos A e B, que não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer um resultado que pertença simultaneamente aos dois eventos é dada por:

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Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.

Por exemplo: Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades:

Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Total 55: bolinhas.

Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Total 60: bolinhas.

Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a

probabilidade de que ambas as bolinhas retiradas sejam azuis?

Caixa A: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:

[pic]

Caixa B: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:

[pic]

Probabilidade de ambas serem azuis:

[pic]

• Teorema do Produto para Eventos Vinculados: A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B vinculados é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento:

[pic]

O símbolo P(B/A) lê-se probabilidade de ocorrência do evento B tendo ocorrido o evento A e é a chamada probabilidade condicional. Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.

O exemplo a seguir deixa essa situação mais evidente:

Retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade que as três sejam vermelhas:

Probabilidade da 1ª carta ser vermelha:

[pic]

Probabilidade da 2ª carta ser vermelha:

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Probabilidade da 3ª carta ser vermelha:

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Probabilidade das três serem vermelhas:

[pic]

O texto acima resume os principais pontos desse módulo, mas sugere-se que você complemente os estudos e se aprofunde nos conceitos. Recomendamos os seguintes textos:

· Capítulo 6 – Probabilidade do livro Estatística Aplicada à Gestão Empresarial de Adriano Leal Bruni.

· Resumo nomeado MÓDULO 1 – REVISÃO DE PROBABILIDADES disponível no site www.aulalivre.com . Pesquisar pelo nome do professor Mauricio do Fanno, na disciplina ESTATÍSTICA APLICADA.

Exercício

1- Uma caixa

contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. As probabilidades de que ambas não sejam defeituosas e de que uma seja perfeita e a outra não são respectivamente de:

[pic]A) 88,33% e 45,00% [pic]B) 43,33% e 45,00% [pic]C) 43,33% e 55,00%

[pic]D) 23,33% e 45,00% [pic]E) 23,33% e 55,00%

2- Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falhas: mancais presos e queima do induzido. Sabendo-se que as probabilidades de ocorrência dos defeitos são 0,2 e 0,03, respectivamente, determinar a probabilidade de que num motor daquele tipo, selecionado ao acaso, não ocorra, simultaneamente, as duas falhas.

[pic]A) 6% [pic]B) 19,4% [pic]C) 99,4% [pic]D) 21,8% [pic]E) 77,6%

3- Suponhamos que existam, num certo mercado, duas fábricas de lâmpadas. A fábrica "A" produz 500 lâmpadas, das quais 25% apresentam defeitos e a fábrica "B" produz 550 lâmpadas, das quais 26% são defeituosas; vamos supor também que as 1050 lâmpadas são vendidas por um único vendedor. Por fim suponhamos que um cliente vai comprar uma lâmpada sem especificar marca e que estas foram dispostas ao acaso na prateleira. Calcular:

I - A probabilidade de se receber uma lâmpada defeituosa.

II - A probabilidade de, tendo se recebido uma lâmpada perfeita, ela ser da marca "B".

A alternativa que apresenta as respostas corretas é a:

[pic]A) I = 47,62% e II = 26,00%,

[pic]B) I = 26,00% e II = 52,05%, [pic]C) I = 25,52% e II = 26,00%,

[pic]D) I = 25,50% e II = 50,00%, [pic]E) I = 25,52% e II = 52,05%,

4- Visando determinar a probabilidade de se encontrar fumantes numa determinada cidade fez-se uma pesquisa na qual se entrevistou 856 pessoas às quais se perguntou sobre ser fumante ou não. 327 destas pessoas admitiram serem fumantes. Podemos afirmar que, nesta cidade a probabilidade de se encontrar ao acaso uma pessoa não fumante é de:

[pic]A) 61,8% [pic]B) 162% [pic]C) 32,7% [pic]D) 50% [pic]E) 38,2%

5- Em determinada região do país o candidato a governador José Prego foi votado por 46% dos eleitores e o candidato a senador Luiz Arruela por 26% dos mesmos eleitores. Foi escolhido ao acaso um eleitor dessa região. Qual é a probabilidade de que ele tenha votado num dos dois candidatos, mas não no outro.

[pic]A) 51,92% [pic]B) 48,08% [pic]C) 36,00% [pic]D) 14,40% [pic]E) 33,96%

6- O produto XYZ é composto de dois componentes A e B. Sabe-se que o componente A apresenta defeitos em 1,2% das unidades produzidas e o componente B em 3,6% das unidades produzidas. Pegou-se ao acaso um produto XYZ no estoque, o qual foi testado. Revelou-se que ele é defeituoso. Qual é probabilidade que o componente B desta unidade em particular tenha apresentado defeito?

[pic]A) 24,4% [pic]B) 74,8% [pic]C) 75,6% [pic]D) 2,4% [pic]E) 3,6%

7- Na aprazível cidade de

Ribeirão das Neves 45% dos habitantes são homens. Entre os homens 25% são divorciados. Já entre as mulheres 18% são divorciadas. Um habitante é sorteado ao acaso por um programa de rádio. Qual é a probabilidade dele ser homem e divorciado ou mulher e não divorciada?

[pic]A) 21,50% [pic]B) 43,00% [pic]C) 107,00% [pic]D) 56,35% [pic]E) 53,50%

Distribuições de Probabilidades

Objetivos do módulo

Quando, na disciplina de Estatística, vimos as maneira se apresentar dados estatísticos conceituamos freqüência simples e posteriormente freqüência relativa. No módulo 1 de Estatística Aplicada vimos que probabilidades podem ser definidas como as freqüências simples de eventos ocorridos numa repetição considerável do experimento.

Como decorrência disso nós podemos estabelecer o conceito de distribuição de probabilidades em analogia com as distribuições de freqüências com algumas diferenças:

• Na distribuição de freqüências normalmente utilizávamos como informação principal a freqüência simples. Na distribuição de probabilidades priorizaremos as freqüências relativas agora chamadas de probabilidades.

• Distribuições de freqüências são informações reais, exatas, decorrência de observações efetuadas. Distribuições de probabilidade são previsões feitas a partir de observações, portanto não são reais, são evidentemente prováveis.

• Na disciplina de Estatística utilizamos nos nossos cálculos primordialmente, as informações na forma de tabelas. Em Estatística

Aplicada será mais freqüente o uso das informações na forma de gráficos.