Testes sobre a teoria da probabilidade

1 De um baralho ordinário (52 cartas) extrai-se ao acaso 1 carta. Determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

a) saída de Rei

b) saída de copas

c) saída de Rei ou copas

d) saída de Rei mas não de copas

e) não saída de Rei

f) não saída de Rei nem de copas

g) não saída de Rei ou não saída de copas

Resposta

A: saída de Rei

B: saída de Copas

a) P(A)=1/13

b) P(B)=1/4

c) P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 1/13+1/4-1/52 = 4/13

d) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 1/13 – 1/52 = 3/52

e) P(A’)=1-1/13 = 12/13

f) P(A’∩B’)=P(A∪B)’ = 1–P(A∪B) = 1–4/13 = 9/13

g) P(A’∪B’)=P(A∩B)’ = 1–P(A∩B) = 1–1/52 = 51/52

2 Um sistema eletrônico é formado por dois sub-sistemas, A e B. De ensaios anteriores, sabe-se que:

- a probabilidade de A falhar é de 20%

- a probabilidade de B falhar sozinho é 15%

- a probabilidade de A e B falharem é 15%

Determine a probabilidade de:

a) B falhar

b) falhar apenas A

c) falhar A ou B

d) não falhar nem A nem B

e) A e B não falharem simultaneamente

Resposta

A: o subsistema A falha

B: o subsistema B falha

P(A) = 20% Þ P( A’ )= 80%

P(B-A)=15% P(A ∩ B)=15%

a) P(B) = P(B-A) + P(A∩B) = 0,15 + 0,15 = 30%

b) P(A-B) = P(A) – P(A∩B) = 0,2 – 0,15 = 5%

c) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,2 + 0,3 – 0,15 = 35%

d) P(A’∩B’) = P(A∪B)’ = 1 – P(A∪B) = 1 – 0,35 = 65%

e) P(A∩B)’ = 1 – P(A∩B) = 1 – 0,15 = 85%

3 Suponha que há 3 jornais, A, B e C, com as seguintes percentagens de leitura: A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B e C: 6%; A, B e C: 2,4%

Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Calcule a probabilidade dessa pessoa:

a) ler pelo menos um dos jornais

b) ler A e B mas não C

c) ler A mas não ler B nem C

Resposta

A: a pessoa escolhida lê o jornal A

B: a pessoa escolhida lê o jornal B

C: a pessoa escolhida lê o jornal C

P(A) = 9,8%

P(B) = 22,9%

P(C) = 12,1%

P(A∩B) = 5,1%

P(A∩C) = 3,7%

P(A∩B∩C) = 2,4%

P(B∩C) = 6%

a) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C) = 0,098 + 0,229 + 0,121 - 0,051 - 0,037 - 0,06 + 0,024 = 32,4%

b)P(A∩B∩C’) = P(A∩B) − P(A∩B∩C) = 0,051 – 0,024 = 2,7%

c) P(A∩B’∩C’) = P(A) - P(A∩B) − P(A∩C) + P(A∩B∩C) = 0,098 - 0,051 - 0,037 + 0,024 = 3,4%

4 Um gerente de uma galeria de arte muito creditada no mercado, está interessado em comprar um quadro de um pintor famoso para posterior venda. O gerente sabe que há muitas falsificações deste pintor no mercado e que algumas dessa falsificações são bastante perfeitas o que torna difícil avaliar se o quadro que ele pretende comprar é ou não um original. De facto, sabe-se que há 4 quadros falsos desse pintor para 1 verdadeiro.

O gerente não quer comprometer o “bom nome” da galeria para a qual trabalha comprando um quadro falso. Para obter mais informação o gerente resolve levar o quadro a um museu de arte e pede para que o especialista do museu o examine. Este especialista garante-lhe que em 90% dos casos em que lhe é pedido para examinar um quadro genuíno daquele pintor, ele identifica-o correctamente como sendo genuíno. Mas em 15% dos casos em que examina uma falsificação do mesmo pintor, ele identifica-o (erradamente) como sendo genuíno.

Depois de examinar o quadro que o gerente lhe levou, o especialista diz que acha que o quadro é uma falsificação. Qual é agora a probabilidade de o quadro ser realmente uma falsificação?

Resposta

V: o quadro é genuíno

F: o quadro é falso

I: o quadro é identificado correctamente

P(V) = 20%

P(F) = 80%

P(I/V) = 90% Þ P(I’/V)= 10%

P(I’/F)= 15% Þ P(I/F) = 85%

P(ser realmente falsificação/especialista identificou como falsificação) =

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