Variáveis Aleatórias Discretas

FATEC de Carapicuíba

Lista 7 de exercícios de Estatística I – Prof. Rosângela

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS:

Distribuição de Bernoulli, binomial e Poisson

EXERCÍCIOS

1. Apresente a função de Probabilidade p(x)=P(X=x) para as seguintes variáveis aleatórias X:

1. Número de peças com defeito em uma amostra com duas peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote em que 50% das peças são defeituosas.

Sugestão: Construa a árvore com as probabilidades (0 peças com defeito, uma peça com defeito, duas peças com defeito)

1. Número de peças com defeito em uma amostra com três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote em que 50% das peças são defeituosas.
2. Número de peças com defeito em uma amostra com duas peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote em que 10% das peças são defeituosas.
3. Número de peças com defeito em uma amostra com três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote em que 20% das peças são defeituosas.

1. Apresente, sob forma gráfica, as distribuições de probabilidades do exercício 1.
2. Apresente, sob forma gráfica, as funções de distribuição acumulada do exercício 1.
3. Calcule os valores esperados e as variâncias das distribuições de probabilidades do exercício 1.
4. Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, o empresário quer ter uma idéia da distribuição do lucro por peça montada. Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor que a especificada, respectivamente. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente (RS5,00) e as probabilidades de produção de cada componente com as características bom, longo e curto; vide a tabela a seguir:

Produto	Fábrica (A) Cilindro	Fábrica (B) Esfera
Dentro das especificações......bom (B)	0,80	0,70
Maior que as especificações......longo (L)	0,10	0,20
Menor que as especificações......curto (C)	0,10	0,10

Se o produto final apresentar algum componente com a característica C (curto), ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao preço de R$5,00. Cada componente longo poderá ser recuperado a um custo adicional de R5,00. Pede-se:

1. Se o preço de venda de cada unidade for de R$25,00, como seria a distribuição de freqüências da variável X: lucro por conjunto montado? Complete a tabela abaixo.

Sugestão:Use o diagrama em árvore.

Produto	Probabilidade	Lucro por conjunto montado (X)
BB
BL
BC
LB
LL
LC
CB
CL
CC

1. Complete a tabela abaixo com a distribuição de probabilidades da v.a. X: lucro por conjunto montado.

X	p(x)
15
10
5
-5
Total

1. Faça o gráfico da distribuição de probabilidades p(x) da v.a. X.
2. Dê a função de distribuição acumulada de probabilidades da v.a. X, F(x)=P(X≤x). Depois, faça o gráfico de F(x).
3. Calcule a esperança de lucro por conjunto montado,  μX=E(X).
4. Calcule a variância σ2X=V(X) e o desvio padrão σX=DP(X) da v.a. X.
5. Considere a v.a. Y: custo de recuperação de cada conjunto produzido. Complete a tabela abaixo com a distribuição de probabilidades de Y.

Y	p(y)
0
5
10
Total

1. Calcule o custo médio de recuperação de cada conjunto produzido (μY=E(Y)).
2. Calcule a variância σ2Y=V(X) e o desvio padrão σY=DP(X) da v.a. Y

Respostas:

e) μX=E(X)= 9,85

f) σ2X=V(X)= 57,23 e σX=DP(X)=7,57.

h) μY=E(Y)= 1,35

i) σ2Y=V(Y)= 5,93 e σY=DP(Y)=2,43

1. Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras?

Resposta: p=0,12013 (vide a tabela)

1. Numa criação de coelhos, nascem 40% machos. Pede-se:

1. Qual a probabilidade que não nasça coelho macho algum num dia em que nasceram 20 coelhos?
2. Qual a probabilidade que nasça exatamente 1 coelho macho num dia em que nasceram 20 coelhos?
3. Qual a probabilidade que nasça pelo menos 1 coelho macho num dia em que nasceram 20 coelhos?

Sugestão: P(X≥1)=1-P(0)

1. Qual a probabilidade que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos?

Resposta:

1. 0,0003
2. 0,00049
3. 0,00052
4. 0,99948

1. Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é correta. Se um aluno resolve aprova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5 (isto é, acertar 25 questões)?

Resposta: 0,000002.

1. Em um livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros?

Sugestão:

Use a distribuição de Poisson com λ=1(média de erros por página)

Resposta: 0,080302

1. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:

1. num minuto não haja chamado algum;
2. em 2 minutos haja 2 chamados;
3. em t minutos não haja chamada.

Resposta:

1. 0,006738
2. 0,002270
3. e-5t

1. Considere que um produto pode estar perfeito (B), com defeito leve (DL) ou com defeito grave (DG). Seja a seguinte distribuição de lucro (em R$) por unidade vendida desse produto:

Produto	x	p(x)
B	6	0,7
DL	0	0,2
DG	-2	0,1

1. Calcule o valor esperado e a variância do lucro.
2. Se com a redução de desperdício foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual o novo valor esperado e a variância do lucro por unidade?
3. E se o lucro duplicou, qual o novo valor esperado e a variância do lucro por unidade?

Respostas

1. μ=E(X)= 4

σ2=V(X)= 9,6

1. μ=E(X)= 5

σ2=V(X)= 9,6

1. μ=E(X)= 8

σ2=V(X)= 38,4