Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias discretas

Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas Distribuição de probabilidade binomial

Distribuição de probabilidade Hipergeométrica Distribuição de probabilidade Binomial Negativa Distribuição de probabilidade de Poisson

Considere o experimento aleatório de lançar três vezes uma moeda balanceada e observar a face superior em cada lançamento. Calcule a probabilidade de:

1.não obter nenhuma cara. 2.Obter uma cara.

3.Obter dois caras. 4.Obter três caras.

De nição

Para um dado espaço amostral ? de um experimento, uma variável aleatória (v.a) é qualquer regra que associe um valor a cada resultado de ?. Em termos matemáticos, uma variável aleatória é uma função cujo domínio é o espaço amostral e o contra-dominio é um conjunto de números reais.

De nição (Variável aleatória de Bernoulli)

Qualquer variável aleatória cujos únicos valores possíveis são 0 ou 1 é denominada Variável aleatória de Bernoilli.

Exemplo 1

Lançar uma moedas, se face superior é cara então X = 1, em caso contrario X = 0.

De nição (Tipos de variáveis aleatórias)

Uma variável aleatória discreta é uma variável cujos valores possíveis constituem um conjunto nito ou podem ser relacionados em uma sequência in nita na qual haja um primeiro elemento, um segundo e assim por diante. Uma variável aleatória é contínua se

seu conjunto de valores possíveis consiste em um intervalo completo da reta de números (Reta Real).

Exemplo 2

v.a contínua: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.

v.a discreta: número de arranhões em uma superfície, número de bits transmitidos que foram recibidos com erro.

De nição (Função de distribuição)

A função de distribuição da variável aleatória X , representada por FX ou simplesmente F , é de nida por

FX (x) = P(X ? x), x ? R.

Na literatura, a função de distribuição de X é frequêntemente chamada de função de distribuição acumulada de X .

Propriedades

Se X é uma variável aleatória, sua função de distribuição F goza das seguintes propriedades:

x ? y então F (x) ? F (y), i.e., F é não-decrescente.

F é continua à direita.

Se xn vai para ?? então F (xn) ? 0. Se xn vai para ? então F (xn) ? 1.

discretas

De nição (Massa de probabilidade (fmp))

A função distribuição de probabilidade ou função de massa de probabilidade de uma variável aleatória discreta é de nida para cada número x por

0 ? 1

p(x) = P(X = x) = P(todos os ? ? ? : X (?) = x ). Como p(x) é

de nida como probabilidade, p(x) ? para todo x e x p(x) = .

Exemplo 3:

A função distribuição de probabilidades de qualquer variável aleatória Bernoulli pode ser expressa na forma p(1) = ? e

?

p(0) = 1 ?, onde 0 < ? < 1. Como a função de probabilidade depende do valor especí co de ?, normalmente escrevemos p(x; ?) em vez de apenas p(x).

{ }

O espaço amostral de um experimento aleatório é a, b, c, d , e, f e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é

de nida como segue:

Resultado a b c d e f x 0 0 1.5 1.5 2 3

Determine a função de probabilidade de X .

Use a função de probabilidade do exemplo anterior para determinar as seguintes probabilidades.

1. P(X = 1.5)

2. P(0.5 < X < 2.7)

3. P(X > 3)

4. P(0 ? X < 2)

Veri que que a seguinte função é função de probabilidade e determine as probabilidades requeridas.

2

p(x) = 7

, x = 1, 2, 3.

8 . 1 ?x

1. P(X ? 1)

2. P(X > 1)

3. P(2 < X < 6)

4. P(X ? 1 ou X > 1)

De nição

Suponha que p(x) dependa de uma quantidade que pode ser atribuída a qualquer um de diversos valores possíveis, em que cada valor diferente de ne uma distribuição de probabilidade diferente. Tal quantidade é denominada parâmetro da distrbuição. A coleção de todas as distribuições de probabilidade dos diferentes valores do parâmetro é denominada uma família de distribuições de probabilidade.

De nição

A função de distribuição acumulada (FDA) F (x) de uma variável aleatória discreta X com função distribuição de probabilidade p(x) é de nida para cada valor de x por

?

F (x) = P(X ? x) =

y:y