A Álgebra Booleana ou Álgebra de Bool

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2.1  Álgebra Booleana ou Álgebra de Boole [pic 6]

O nome Álgebra Booleana é em homenagem ao matemático inglês George Boole que em 1854, publicou um livro clássico. Uma investigação das leis do pensamento sobre as quais são baseadas as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades. O propósito estabelecido por Boole era o de realizar uma análise matemática da lógica.

A Álgebra de Boole surgiu inicialmente por ter relações com os problemas que apareceram no projeto de circuitos de chaveamento com relês em 1838, Claude E. Shannon que era assistente de pesquisa no departamento de engenharia elétrica no MIT, em uma versão de sua tese para o grau de mestre de ciências que foi publicada sob o título A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. Este artigo apresentava um método para representação de qualquer circuito consistindo de combinações de chaves e réles por um conjunto de expressões combinações matemáticas, e foi desenvolvido um cálculo para manipular estas expressões. O cálculo usado baseava-se comprovadamente na álgebra booleana.

No início da Era Eletrônica, os problemas e soluções tecnológicas empregavam somente sistemas analógicos, também conhecidos por sistemas lineares. Esses sistemas copiavam os sistemas que eram conhecidos na Natureza. Com o avanço da tecnologia, esses mesmos problemas passaram a ser solucionados também com a eletrônica digital.

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2.2 Postulados da Álgebra de Boole

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A Álgebra de Boole é um sistema constituído por um conjunto S, duas operações fechadas ( + , ou, e ., e) definidas sobre S, e por um conjunto de postulados.

A operação simbolizada por  +  é chamada operação OU (ou OR). A operação simbolizada por   .  é chamada operação E (ou AND). Os símbolos + e  . não tem o mesmo significado dos símbolos aritméticos usados para as operações aritméticas de adição e multiplicação.

Uma operação é dita fechada sobre um conjunto se, quando aplicadas a dois ou mais elementos pertencentes ao conjunto, origina um outro elemento também pertencente ao conjunto.

Por exemplo:

Se  a  Є   S                                                                       Є = pertence

 e   b  Є   S,             então   (a  +  b)  Є  S

(a   .   b)  Є  S

P.1 Associatividade de  +  e  .

(a  +  b) + c  = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

P.2 Comutatividade de + e  .

(a = b) = b + a

  a  .  b = b . a

P.3  ∃! (Existência) de um único elemento unitário em relação à operação  + 

0 + a = a + 0 = a

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elemento unitário

P.4 ∃! (Existência) de um único elemento unitário em relação à operação   .

1 . a  =  a . 1  =  a

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elemento unitário

P.5 Distributividade de + sobre .

a  +  (b . c) = (a + b) . (a + c)

P.6 Distributividade de . sobre + 

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

P.7 Existência de um complemento

(∀ a) (∃ ā) tal que,                                    ∀ = qualquer que seja                             

 a . ā = 0

 a + ā= 1

Aplicação: Qual o complemento de O ?

Por P.3,         O + Ō = 1  ∴ Ō = 1  e  O . Ō = O, donde O . 1 = O      ∴ Ō = 1

2.3 Teoremas Fundamentais

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T.1 Lei da Dualidade

Dada uma certa igualdade, se forem permutados entre si os símbolos + e ., os dígitos 0 e 1, nos seus dois membros, pode-se obter uma outra igualdade, dual da primeira.

(a + b) + c = a + (b + c)[pic 12][pic 13]

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(a  . b)  . c = a  .  (b . c)

T.2  a + 1 = 1

T.3  a . 0 = 0

T.4  a + a = a

T.5  a . a = a

T. 6  Lei da Absorção: a + (a . b) = a

T.7 Lei da Absorção: a . (a + b) = a

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T.8

T. 9  ā é único

T.10 Teorema de De Morgan

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2.4 Funções Booleanas

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Chama-se função booleana a uma dada expressão envolvendo elementos e operações da álgebra de Boole.

Exemplos: f1 (a,b,c) = a . b + ā . b . c + b . c[pic 19]

 

f2 (A, B, C, D) = Ā . B + Ā .B  . C . D + Ā[pic 20][pic 21]