A Lista de Exercícios Soluções Sequências e Indução Matemática

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1 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural  Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador Começando do número racional 1 - par ordenado (1, 1) - é possível associar o número natural 1 e, seguindo o sentido das setas, atribuir o próximo número natural definindo assim uma sequência de enumeração Dado o número racional positivo p , qual é o número natural correspondente?[pic 2]

Resposta:

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              . . .

(1, 6)   (2, 6)   (3, 6)   (4, 6)   (5, 6)   (6, 6). . .[pic 4][pic 5]

(1, 5)   (2, 5)   (3, 5)   (4, 5)   (5, 5)   (6, 5). . .[pic 6]

(1, 4)   (2, 4)   (3, 4)   (4, 4)   (5, 4)   (6, 4). . .[pic 7]

(1, 3)   (2, 3)   (3, 3)   (4, 3)   (5, 3)   (6, 3). . .[pic 8]

(1, 2)   (2, 2)   (3, 2)   (4, 2)   (5, 2)   (6, 2). . .

                                     

(1, 1)→(2, 1) (3, 1)→(4, 1) (5, 1)→(6, 1). . .

De acordo com o enunciado acima, a enumeração dos números racionais irá ocorrer da forma apresentada a seguir (o número natural associado a cada número racional está entre colchetes):

↑                . . .

(1, 6)   (2, 6)   (3, 6)   (4, 6)   (5, 6)   (6, 6). . .

[21][pic 9]

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5). . .

[11]        [20][pic 10]

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4). . .

[10]        [12]        [19][pic 11]

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3). . .

[4]        [9]        [13]        [18][pic 12]

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2). . .

[3]        [5]        [8]        [14]        [17][pic 13]

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1). . .[pic 14]

[1]        [2]        [6]        [7]        [15]        [16]

 a        a        3a        4a        5a        6a[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Diagonais

Pontos a observar:

• O número racional positivo q é representado pelo par ordenado (p, q);[pic 21]

A soma dos índices p e q dos pares ordenados ao longo de cada diagonal é a mesma Na primeira diagonal temos apenas um par ordenado, i e , (1, 1), e a soma vale 2 A partir da segunda diagonal, as somas dos índices valem 3, 4, 5, etc;[pic 22]

• Na primeira diagonal temos um par ordenado, na segunda dois, na terceira três e assim sucessivamente Isso significa que em cada diagonal temos (p + q) − 1 pares ordenados;

Quando a soma p + q é um número ímpar, a enumeração ocorre de baixo para cima e, quando é par, ocorre de cima para baixo;[pic 23]

Para calcular o número natural k associado ao número racional (p, q) temos que saber quantos pares ordenados existem nas diagonais anteriores à diagonal onde se encontra o par (p, q) Essa é a soma de 1 a (p + q) − 2, representada por S:[pic 24]

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