Propriedades dos determinantes

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

1. Se In é a matriz identidade, então:

det In = 1

1. Se N é uma matriz nula, então:

det N = 0

1. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det A  = 0

1. Se uma matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, seu determinante é nulo.

det A = 0

1. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det At = det A

1. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det B = k det A

1. Se B = kA, onde k é um escalar, então:

det B = kn det A , onde n é a ordem da matriz A

1. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou duas colunas) de A, então:

det B = - det A

1. O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes destas matrizes:

                                   det (A .B) = det  A . det  B

1. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det A = 0

1. O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

1. O determinante de uma matriz A não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A os elementos de outra linha (ou coluna) previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

1. Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A  pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes.

[pic 1]

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A=	a11	a12
a21	a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A=	a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
               - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A=	a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11	a12	a13	a11	a12
a21	a22	a23	a21	a22
a31	a32	a33	a31	a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor amarela +a11a22a33 Produto cor verde +a12a23a31 Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor rosa -a11a22a33 Produto cor bege -a12a23a31 Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13