A Lista de Exercícios Soluções Sequências e Indução Matemática
Por: Matheus Leodonel • 25/9/2020 • Trabalho acadêmico • 7.967 Palavras (32 Páginas) • 332 Visualizações
[pic 1]
1 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador Começando do número racional 1 - par ordenado (1, 1) - é possível associar o número natural 1 e, seguindo o sentido das setas, atribuir o próximo número natural definindo assim uma sequência de enumeração Dado o número racional positivo p , qual é o número natural correspondente?[pic 2]
Resposta:
[pic 3]
. . .
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6). . .[pic 4][pic 5]
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5). . .[pic 6]
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4). . .[pic 7]
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3). . .[pic 8]
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2). . .
(1, 1)→(2, 1) (3, 1)→(4, 1) (5, 1)→(6, 1). . .
De acordo com o enunciado acima, a enumeração dos números racionais irá ocorrer da forma apresentada a seguir (o número natural associado a cada número racional está entre colchetes):
↑ . . .
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6). . .
[21][pic 9]
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5). . .
[11] [20][pic 10]
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4). . .
[10] [12] [19][pic 11]
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3). . .
[4] [9] [13] [18][pic 12]
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2). . .
[3] [5] [8] [14] [17][pic 13]
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1). . .[pic 14]
[1] [2] [6] [7] [15] [16]
a a 3a 4a 5a 6a[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
Diagonais
Pontos a observar:
- O número racional positivo q é representado pelo par ordenado (p, q);[pic 21]
A soma dos índices p e q dos pares ordenados ao longo de cada diagonal é a mesma Na primeira diagonal temos apenas um par ordenado, i e , (1, 1), e a soma vale 2 A partir da segunda diagonal, as somas dos índices valem 3, 4, 5, etc;[pic 22]
- Na primeira diagonal temos um par ordenado, na segunda dois, na terceira três e assim sucessivamente Isso significa que em cada diagonal temos (p + q) − 1 pares ordenados;
Quando a soma p + q é um número ímpar, a enumeração ocorre de baixo para cima e, quando é par, ocorre de cima para baixo;[pic 23]
Para calcular o número natural k associado ao número racional (p, q) temos que saber quantos pares ordenados existem nas diagonais anteriores à diagonal onde se encontra o par (p, q) Essa é a soma de 1 a (p + q) − 2, representada por S:[pic 24]
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