A Lógica Modal

Lógica Modal

Introdução

        Em muitas proposições, não basta apenas olhar o seu valor-verdade para garantir (ou negar) a sua veracidade; isso é claro, se nos utilizarmos apenas da Lógica Clássica. Para que a Lógica Clássica pudesse manter a sua aparência lógica e simplicidade, Lewis formalizou a Lógica Modal, tornando-a uma extensão da Lógica Clássica, que através da introdução de operadores de necessidade e possibilidade, visou acabar com o problema do operador clássico de implicação.

        A Lógica Modal é a base para formalizar raciocínios que envolvem o possível e o necessário, tratando não apenas da verdade, mas também dos mais variados modos da verdade.

Podemos citar como um dos avanços desta lógica, a Lógica Dinâmica, uma lógica que representa processos de computação, fazendo com que a lógica modal seja aplicada também na informática. Além disso, existem outras extensões da Lógica Modal, que simbolizam outros modos: obrigatório, permitido, (na lógica deôntica, que lida com conceitos morais); acredita, duvida, sabe, ignora (na lógica epistêmica, que lida com questões do conhecimento e da crença); foi, é, será (na lógica temporal, em que representam noções de tempo).

        O que torna essa lógica tão útil em relação á Ciência da Computação é a flexibilidade de seus operadores, que podem assumir significados diferentes dependendo de sua aplicação.

O conceito de necessidade na lógica de modalidades visa uma necessidade lógica, mas podemos ter um conceito físico de necessidade (necessário de acordo com as leis da física), necessidade moral (obrigação), computacional (depois da execução do programa), etc.

Mundos Possíveis e Simbologia

            Para compreendermos a semântica da Lógica Modal, precisamos compreender a noção de mundos possíveis, também conhecido como modelo de Kripke. Existe em fórmulas modais um parâmetro adicional se referindo a um mundo, ou seja, uma fórmula não é simplesmente verdadeira, mas é verdadeira em um mundo possível. Assim, uma fórmula pode ser verdadeira em um mundo possível e ao mesmo tempo, falsa em outro mundo possível. O conceito de mundos possíveis considera, além de como as coisas são, como elas podem ser.

Por exemplo, podemos imaginar um mundo onde Gisele Bündchen seja considerada feia, nesse mundo o enunciado “É impossível que Gisele Bündchen seja modelo.” é verdadeiro em algum mundo possível, mesmo que seja falso no mundo real.

• ◊A é verdadeira se e somente se “A” é verdadeira em pelo menos um mundo possível.
• □A é verdadeira se e somente se “A” é verdadeira em todos os mundos possíveis.

Apesar dos termos poderem assumir vários significados, devemos pensar na lógica da possibilidade lógica, ou seja, algo é logicamente possível (ou impossível) se podemos descrevê-lo sem inconsistências.

Os operadores modais são ◊ (necessidade) e  □ (possibilidade).

Podem se apresentar também na seguinte forma:

• ◊A≡~□~A
• □A≡~◊~A

            Exemplificando:

1. É impossível que a casa seja verde.

  ~◊C

1. A casa pode não ser verde.

 ◊~C

1. Não é verdade que a casa é necessariamente verde.

~□C

      4.   É necessário que a casa não seja verde.

□~C

     5.    Necessariamente, se a casa é verde, então a casa é verde.

□(C→C)

     6.    É necessariamente possível que a casa seja verde.

□◊C

     7.    É possível que a casa seja verde e possível que ela não seja.

◊C & ◊~C

     8.    É impossível que a casa seja verde e que ela não seja.

~◊(C & ~C)

     9.  Se é necessário que a casa seja verde, então é necessário que é necessário que a casa seja verde.

□C→□□C

    10.  É necessário que é necessário que, se a casa seja verde, então a casa é verde.

□□(C→C)

O Sistema S5

Na Lógica Modal Proposicional, o sistema S5 é o mais conhecido. Formado por quatro esquemas de axiomas e uma regra de inferência, usando como base o cálculo proposicional clássico acrescentando os axiomas e regras próprias para os operadores modais:

• AS1: ◊P ⇔ ~□~P
• AS2: □(P→Q)→(□P→□Q)
• AS3: □P→P
• AS4: ◊P→ □◊P
• Necessitação (N): essa regra diz que, se P foi provado como um teorema, então podemos inferir □P.

Importante: A regra N somente pode ser aplicada a teoremas, caso contrário estaríamos cometendo um grande um erro de inferir sentenças onde não devemos.

Os operadores modais podem ser combinados também com quantificadores, criando problemas interessantes e também, mais complicados.