A derivada e aplicações
Por: danicruvinel • 12/8/2015 • Trabalho acadêmico • 10.289 Palavras (42 Páginas) • 477 Visualizações
A DERIVADA E APLICAÇÕES
- A Derivada de Uma Função y = f(x)
Definimos a derivada de uma função f(x) como segue.
Definição (Derivada de uma função y = f(x)): A derivada de uma função y = f(x) é a função f ’(x) (vamos ler f linha de x), tal que o seu valor em qualquer ponto do domínio de f, i.e., para qualquer ponto x[pic 1]D[pic 2] é dado pelo limite:
[pic 3]
Além disso, vamos falar que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Abaixo, listamos algumas outras notações que são utilizadas para a representação da derivada de uma função y = f(x).
- D[pic 4]f(x) (vamos ler: derivada de f(x) em relação a x).
- D[pic 5]y (vamos ler: derivada de y com relação a x).
- [pic 6] (vamos ler: derivada de y com relação a x)
- [pic 7] (vamos ler: derivada de y com relação a x no ponto x = x[pic 8])
Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos, em que determinamos a derivada de uma função f(x) através da definição formal de derivada.
[pic 9] Vamos encontrar a derivada da função f(x) = x[pic 10] no ponto x[pic 11] = 3?
Solução: Neste caso, temos que:
f '(3) = [pic 12] = [pic 13]= [pic 14] =
[pic 15] = 6
[pic 16]
[pic 17] Qual a derivada de f(x) = x[pic 18] no ponto x[pic 19] = – 2?
Solução: Neste caso, temos que:
f '( – 2) = [pic 20] = [pic 21]
= [pic 22] = [pic 23] = – 4
[pic 24]
[pic 25] Consideremos a função f(x) = | x | (valor absoluto de x ou módulo de x). A função f(x) apresenta derivada no ponto x[pic 26] = 0?
Solução: Neste caso, temos que:
f '(0) = [pic 27] = [pic 28] = [pic 29]
Desta forma, percebemos que:
- Se [pic 30]x tende a 0 pela direita, então [pic 31]x > 0 e |[pic 32]x| = [pic 33]x e, conseqüentemente o limite de f ’(0) = [pic 34] é igual a 1, ou seja, [pic 35] = 1.
- Se [pic 36]x tende a 0 pela esquerda, então temos que [pic 37]x < 0 e |[pic 38]x| = -[pic 39]x e, desta maneira o limite de f ’(0) = [pic 40] é igual a -1, ou seja, [pic 41] = -1.
[pic 42]
[pic 43] Considerando a função f(x) = 5.x[pic 44] + 6x – 1, vamos encontrar f ’(2).
Solução: Neste caso, temos que:
f '(2) = [pic 45] = [pic 46] = [pic 47]
f '(2) = [pic 48]
f '(2) = 26
[pic 49] Considerando a função f(x) = [pic 50], vamos encontrar f ’(x).
Solução: Neste caso, temos que:
f '(x) = [pic 51] = [pic 52]
f '(x) = [pic 53]
f '(x) = [pic 54]
[pic 55] Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = [pic 56], que seja paralela à reta 8x – 4y + 1 = 0.
Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente vamos lembrar da Geometria Analítica Elementar que duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais.
[pic 57]
Sendo assim, inicialmente vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = [pic 58] num ponto qualquer (x[pic 59], y[pic 60]), ou seja, temos que:
m(x[pic 61]) = f ’ (x[pic 62])
m(x[pic 63]) = [pic 64]= [pic 65]
m(x[pic 66]) =[pic 67]
m(x[pic 68]) =[pic 69]
Portanto, m(x[pic 70]) =[pic 71]. Como a reta que queremos encontrar deve ser paralela a 8x – 4y + 1 = 0, podemos escrever:
m(x[pic 72]) =[pic 73] = 2
Já que o coeficiente angular de 8x – 4y + 1 = 0 é igual a 2. Desta maneira, da igualdade:
...