O Conjunto dos Racionais

Conjunto dos Racionais

[pic 1] 
Representação dos conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais.

Pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número que possa ser escrito na forma de fração, onde o numerador e o denominador são números inteiros. 
[pic 2]
Portanto, o Conjunto dos números Racionais engloba o conjunto dos inteiros, os números decimais finitos (Ex: 45,236) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como: “1,3333333”... ; “0,232323...” ; “1,5888...”, chamados também de dízimas periódicas. 

A letra Q maiúscula é a representação do Conjunto dos Números Racionais. 

Subconjuntos de Q: 

♦ Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 

♦ Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 

♦ Q- é o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 

♦Q*+ é o conjunto dos números racionais positivos. 

♦ Q*- é o conjunto dos números racionais negativos.

Exercícios

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COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

Para fazer a comparação de números racionais, podemos utilizar a reta numérica. Dessa forma, fica mais fácil e evidente a diferenciação entre os números bem como podemos utilizar o símbolo de maior (>) e menor (<). O conjunto dos número racionais é representado pela letra maiúscula Q. Fazem parte desse conjunto os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízimas periódicas. Veja a seguir uma representação numérica desse conjunto:

Q = { …-2,5454...; - 2; - 1,5; - 1; - 1; 0; + 1; + 1, 2; + 2; + 3,4343...; + 4 ...}
2        2

No conjunto descrito acima, temos que:

• 0, 2 , 4 → São números naturais.
• - 2, - 1, 0, + 2, + 4 → São números inteiros.
• - 1 e + 1 → São frações.
   2      2
• -2,5454... e + 3,4343... → São dízimas periódicas.
• - 1,5 e 1, 2 → São números decimais.

Para comparar os números racionais, podemos dispô-los em uma reta numérica. Veja um exemplos:

[pic 4]

Os números - 3, +3, - 2, + 2, -1 e +1 são opostos e possuem o mesmo valor absoluto, ou seja, valor em módulo. Observe:

• |- 3| = 3
• |+ 3| = 3
• |- 2| = 2
• |+ 2| = 2
• |- 1| = 1
• |+ 1|=1

Para comparar os números racionais, podemos utilizar os sinais de maior (>) e menor (<) ou considerar o sucessor e o antecessor de um número.

• - 2 é antecessor de -1;
• -1 é menor que + 0,8 → - 1 < + 0,8;
   2                                   2
• + 3 é sucessor de +2;
• 0 é maior que – 2,5 → 0 > - 2,5.

EXERCÍCIO 1:

Determine o maior número entre – 2,5 e + 0,8.

Resposta: Pela reta numérica da imagem acima, sabemos que + 0,8 é maior que – 2,5, Caso não tivéssemos o desenho dessa reta, determinaríamos o maior número observando os sinais, pois o menor número sempre será o negativo. Conclui-se, então, que:

+ 0,8 > - 2, 5
Maior número: + 0,8
Menor número: - 2,5

EXERCÍCIO 2:

Qual número racional é maior – 3 ou –1 ?
                                                  2        2

Resposta: Por causa da reta numérica representada anteriormente, sabemos que a maior fração entre as duas é – 1 .
                                        2

Caso não tivéssemos a reta numérica, descobriríamos a maior fração comparando o valor dos numeradores. Observe que:

• - 3 é o numerador da fração – 3
                                                  2
• - 1 é o numerador da fração – 1
                                                  2

Como – 1 está mais próximo de 0, então ele é maior em relação a – 3. Por esse motivo, temos que a fração – 1 é maior que - 3
                       2                       2

- 1 > - 3
 2      2

Operações com números racionais decimais Exata e na dízima periódica

   
Representação Decimal  de uma Fração Ordinária

   Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

• Converta [pic 5]  em número decimal.

[pic 6]

       Logo, [pic 7] é igual a 0,75 que é um decimal exato.

• Converta [pic 8] em número decimal.

[pic 9]

        Logo, [pic 10] é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.

• Converta [pic 11] em número decimal.

[pic 12]

        Logo, [pic 13] é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Dízima Periódicas

   Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

[pic 14] = 0,333...

[pic 15] = 0,8333...

   Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: