Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1 (Pesquisar sobre velocidade instantânea)

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com.[pic 1]

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

[pic 2]

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo [pic 3] infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea [pic 4] ou simplesmente velocidade como sendo:

[pic 5]

 

Exemplo: Função x = 3t² + t3 + 2t – 4 (Mudar a função)

1. Velocidade no tempo 2s

x = 3t² + t³ + 2t - 4

v = dx = 3x2t2-1 + 2xt 3-1 + 2 – 0

      dt

v = 6t + 2t² + 2

Se t = 2s

v = 6x2 + 2x2² + 2

v = 12 + 8 + 2

v = 22m/s

1. Aceleração no tempo 10s

v = 6t + 2t² + 2

a= 6 + 2x2t²-¹ + 0

a= 6 + 4t

a= 6 + 4x10

a= 46m/s²

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico s(m) x t(s) x = 3t² + t³ + 2t - 4

t(s)	x(m)
0	-4
1	2
2	20
3	56
4	116
5	206

[pic 6]

Gráfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t² + 2

t(s)	v(m)
0	2
1	10
2	22
3	38
4	58
5	82

[pic 7]

Passo 3 (Pesquisar sobre aceleração instantânea)

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:

[pic 8] (aceleração média)

[pic 9] (aceleração instantânea)

Passo 4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.

Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a= 6 + 4t.

t(s)	a(m/s²)
0	6
1	10
2	14
3	18
4	22
5	26

[pic 10]

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1 (Pesquisar sobre constante de Euler)

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja: e = 2,718281828459045235360287471352662497757