Derivada
Por: rafaellasnc • 28/4/2015 • Trabalho acadêmico • 2.139 Palavras (9 Páginas) • 277 Visualizações
A derivada é uma das ferramentas mais importantes da matemática. Para entender a derivada é preciso saber, também, o conceito de taxa de variação media (TVM) e taxa de variação instantânea (TVI). São conceitos essenciais para compreender a derivada.
Taxa de Variação
[pic 1]
A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, na prática, tem unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidades de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.
Exemplo: Determinar a taxa de variação media da produção para o intervalo de tempo das 3h ate as 4h.
TVM de f(x) para o f(4) – f(3) = 4² - 32 = 16 – 9 = 7 ton/h
intervalo de 3 ate 4 = 4 - 3 1
A taxa de variação media da produção aumenta com o tempo pois a produção é crescente, isso é observado graficamente, se notarmos que o gráfico de tal função é um parábola com a concavidade voltada para cima.
A taxa de variação instantânea serve para calcular tal taxa em um instante especifico.
Para calcular a taxa de variação instantânea exatamente em um instante, é preciso calcular varias taxas de variação media para intervalos de tempos bem pequenos cada vez mais próximos do instante sugerido.
Considerando o instante x = 2, e pegando, para a taxa de variação media, os intervalos de 2 ate 2 + h:
TVM de f(x) para o f(2 + h) - f(2)
intervalo de 2 ate 2 + h = h
- Jogando valores para h = 0,1; 0,01 e 0,001. E, fazendo TVM, os resultados desses valores vão sempre estar muito próximos.
- h = 0,1
TVM de f(x) para o f(2 + 0,1) - f(2) = f(2,1) – f(2)
intervalo de 2 ate 2 + 0,1 = 0,1 0,1
TVM de f(x) para o 2,12 - 22 = 0 ,41 = 4,1
intervalo de 2 ate 2,1 = 0,1 0,1
- h = 0,01
TVM de f(x) para o f(2 + 0,01) - f(2) = f(2,01) – f(2)
intervalo de 2 ate 2 + 0,01 = 0,01 0,01
TVM de f(x) para o 2,012 - 22 = 0 ,0401 = 4,01
intervalo de 2 ate 2,01 = 0,01 0,01
- h = 0,001
TVM de f(x) para o f(2 + 0,001) - f(2) = f(2,001) – f(2)
intervalo de 2 ate 2 + 0,01 = 0,001 0,001
TVM de f(x) para o 2,0012 - 22 = 0 ,004001 = 4,001
intervalo de 2 ate 2,001 = 0,001 0,001
Com isso, a taxa de variação media sendo calculada para intervalos de 2 ate um instante pouco maior que 2, nota-se que, cada vez mais, a taxa se aproxima do valor 4. E, agora, calculamos as taxas de variação media para intervalos de um instante pouco menor que 2 ate o instante 2, e ver se esses também vão se aproximar de 6. Para isso, é só jogar valores negativos.
- Jogando valores para h = - 0,1; - 0,01 e - 0,001.
- h = - 0,1
TVM de f(x) para o f(2 - 0,1) - f(2) = f(1,9) – f(2)
intervalo de 2 ate 2 - 0,1 = - 0,1 - 0,1
TVM de f(x) para o 1,92 - 22 = - 0,39 = 3,9
intervalo de 2 ate 1,9 = - 0,1 - 0,1
- h = - 0,01
TVM de f(x) para o f(2 - 0,01) - f(2) = f(1,99) – f(2)
intervalo de 2 ate 2 - 0,01 = - 0,01 - 0,01
TVM de f(x) para o 1,992 - 22 = - 0,0399 = 3,99
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