ETAPA 1- AULA TEMA: CONCEITO DE DERIVADA

INTRODUÇÃO

O presente trabalho faz inicialmente uma abordagem sobre o conceito de derivadas, os processos de derivação, bem como suas aplicações. Podemos encontrar essas aplicações em diversos campos da ciência, tais como; no próprio ensino da matemática, da física, na economia, nas ciências biológicas e até mesmo em problemas do cotidiano. Veremos também, como a derivação de uma função custo pode contribuir para a minimização de custos de produção em uma empresa. Na função receita determinamos o valor que o produto será vendido e na função lucro, veremos de que forma podemos alcançar o lucro máximo, utilizando estas funções.

ETAPA 1- AULA TEMA: CONCEITO DE DERIVADA

RELATÓRIO 1

O Conceito de derivadas e suas aplicações pode ser considerado uma importante ferramenta do cálculo diferencial, pois além de ser capaz de determinar a inclinação de uma reta tangente e uma curva, permite ainda nessa interpretação, que se consiga avaliar as variações que as funções sofrem quando a sua variável assume valores baixos.

Por esse motivo, as derivadas representam um instrumento matemático facilitador, pois através dela podemos compreender com clareza algumas concepções econômicas.

Em geral, para calcularmos a derivada de uma função, recorremos às chamadas regras de derivação, e essas regras são teoremas, todos já demonstrados por meio da definição.

1. 1 Tabela

[pic 1]

A Derivadas por definição representa a taxa de variação de uma função e em alguns casos há a necessidade de trabalhar com as derivadas de ordem superior de uma função quando se visa a otimização de funções e o estabelecimento dos pontos de máximos, mínimos e inflexões. Nesse caso, o procedimento é simples, pois basta realizar o processo de derivação de forma sucessiva. Quando derivamos a função uma vez, temos a primeira derivada; se derivarmos essa primeira derivada, que também é uma função, obtemos a segunda derivada; por sua vez, derivando a segunda função, obtemos a terceira derivada, e assim sucessivamente,

Uma das grandes utilidades práticas das funções derivadas é permitir que possamos saber os intervalos do domínio onde uma função é crescente, decrescente ou mesmo constante. Pelo que mostramos nas taxas de variação, quando uma função for crescente, sua derivada será POSITIVA no intervalo, quando for decrescente, a derivada será NEGATIVA

1. 2 Gráfico

[pic 2]

As derivadas têm importância especial em virtude das inúmeras aplicações em vários campos das ciências, tais como: problemas da física, biologia, química, modelagem matemática, arquitetura, geologia, engenharia e economia.

         O estudo da derivada apresenta diversas aplicações práticas, ela é constantemente aplicada em muitos problemas que envolvem o dia-a-dia do ser humano, possibilitando até mesmo resolver situações que envolvam taxas de variação.

1. 3 Tabela Função Custo

Quantidade “x” do produto B a ser produzido	0	10	20	30	40	50	60
C(x)= x2-40x+700 Custo para produzir q unidades do produto B	700	400	300	400	700	1200	1900

1. 4 Gráfico Custo de produção

[pic 3]

Nossa Empresa de consultoria, Anastácia Consultoria Financeira LTDA, utilizou a função C(x)= x2-40x+700 cedida pelo financeiro da ‘Calçar-Bem’, a qual representa o custo para se produzir “x” unidades do produto. Os termos x2 e 40x representam os custos variáveis da empresa e R$ 700,00 o custo fixo destinado ao pagamento do aluguel do terreno onde a empresa encontra-se instalada.  

Aplicando esta função onde “x” será substituído por quantidades de pares de sapato produzidos com o objetivo de se achar o custo mínimo.

Analisando a tabela de custos, verificamos que se a empresa, por algum motivo, tiver que ficar parada o dia todo, ou seja, não produzir nada neste dia, esta terá um custo de R$ 700,00 que é o custo fixo destinado ao pagamento do aluguel do terreno onde a empresa encontra-se instalada.

Ao mesmo tempo, produzir muito nem sempre é sinônimo de lucratividade, pois existem máquinas que sujeitas a elevadas horas contínuas de trabalho podem sofrer desgastes o que acarretaria na sua quebra ou pelo menos na diminuição significativa da sua vida útil, elevando desta forma os custos de produção. Em vista disso, nossa Empresa chegou à conclusão que a quantidade ótima seria produzir 30 pares ao custo de R$ 400,00, pois a unidade sairá R$13,33.

ETAPA 2- AULA TEMA: TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

RELATÓRIO 2

Derivadas por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função. Derivadas é como o próprio nome indica "derivada" traduz de onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu origem. Assim o conceito pode levar a escolha certa do cálculo em causa, dependendo, da interpretação que lhe é atribuído.

O cálculo de uma derivada é muito complexo e para obter de forma simples e rápida a derivada de uma função, temos as técnicas de derivações, que são elas:

• Função Constante
• Função do 1º Grau
• Constante Multiplicando Função
• Soma ou Diferença de Funções
• Potência de x
• Função Exponencial
• Função Exponencial na Base
• Logaritmo Natural
• Produto de Funções
• Quociente de Funções
• Função Composta – Regra da Cadeia
• A Notação de Leibniz
• Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz
• Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior e Diferencial

Essas técnicas são utilizadas hoje no processo de Administração de uma empresa.

Regras de derivação

2. 1 Tabela

[pic 4]

Exemplificaremos a seguir algumas das aplicações de derivadas em funções:

Derivada de uma constante

Assume- se K como sendo uma constante, simplificando, uma constante é um numero qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).

Exemplo:

2. 2 Tabela

[pic 5]

Derivada da potência de base x:

A derivada da potencia de base x é sempre igual ao grau da potencia inicial,multiplicado pela base cujo grau descresce em -1 unidade.