MATEMATICA

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

• Resposta Questão 5

Para resolver a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

32x + 3x + 1 = 18
(3x)2 + 3x · 31= 18

Tome y = 3x. Temos a seguinte equação em função de y:

y2 + y · 31= 18
y2 + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:

[pic 1]
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1 = – 3 + 9         2 y1 = 6         2 y1 = 3

y2 = – 3 – 9        2 y2 = – 12         2 y2 = – 6

Voltando à equação y = 3x, temos:

Para y1 = 3 3x = y 3x = 3 x1 = 1

Para y2 = – 6 3x = y 3x = – 6 x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

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• Resposta Questão 6

Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:

– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =

Colocando o termo 5x em evidência, temos:

5x · (– 5– 1 – 1 + 52) =
5x · (– 1/5 – 1 + 25) =
[pic 2]
[pic 3]
5x = 5
x = 1

Portanto, a solução da equação exponencial – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119 é x = 1.

• Resposta Questão 7

A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:

23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2

Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:

(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
      4
|x| = ¾

Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.

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• Resposta Questão 8

Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.