MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUí CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA[pic 1][pic 2]

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LISTA AVALIATIVA 2- GEOMETRIA EUCLIDIANA

1. Dado um círculo qualquer. Mostre que se um raio é perpendicular a uma corda então ele a divide em dois segmentos congruentes.

[pic 3]

 Se a altura do triângulo em relação à base, então também é a mediana do triângulo em relação à base. Isso significa, pela definição de mediana, que o raio (que contém o segmento) divide a corda em dois segmentos congruentes

1. Se um quadrado de lado 2 está inscrito em um círculo de raio r. Determine o valor de r.

Considerando-se o triângulo formado por um dos lados do quadrado (AB) e pelos dois raios da circunferência (OA e OB), vemos que ele é retângulo, cujos catetos são os raios e cuja hipotenusa é o lado AB.

Assim, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, obtemos que 

AB² = r² + r²

AB² = 2r²

2² = 2r²

4/2 = r²

2 = r²

√2 = r

1. Na figura abaixo MO IX. Prove que MI — OX.

[pic 4]x

A cordas MI e OX encontram-se num ponto K. Os ângulos opostos cujo vértice é K são congruentes.
Os ângulos inscritos MÔX e MÎX são congruentes, pois são subentendidos por arcos iguais.

Os lados MO e IX, por hipótese são iguais.
Daí temos o caso de congruência LAA, deixando mais do que evidenciado que os lados do triângulo MOK são ordenadamente iguais aos lados do triângulo KIX. O que significa dizer que MI =OX.

Obs. hipótese --> o que se tem, aquilo que foi dado.
tese --> o que se pretende provar.

Traçando uma corda MX com ela é possível perceber que MX = MX, pois ambas possuem a mesma corda. [pic 5][pic 6]

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Como  e  possui dois ângulos congruentes estes são semelhantes portanto:  [pic 8][pic 9][pic 10]

Como:  por hipótese: [pic 11][pic 12]

Assim  pelo caso , portanto: [pic 13][pic 14]

[pic 15]

                                                        [pic 16]

C.Q.D

1. Mostre que as diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é o     ponto médio das duas diagonais.

Imagine um paralelogramo ABCD, imagine que as diagonais AC e BD se cortem no ponto M. Essas diagonais, junto com os lados do paralelogramo, formam 4 triângulos: MBC, MAD, MAB e MCD, com o vértice M em comum. Ora, como, por ser um paralelogramo, temos que BC = AD (em ambos são paralelos) e AB = CD (e ambos também são paralelos).[pic 17]

 O ângulo DBA é congruente ao ângulo BDC.

O ângulo CMD é congruente ao ângulo AMB.

O triângulo CMD é congruente ao triângulo AMB.

     O segmento AM é congruente ao segmento MC.

 M é o ponto médio do segmento AC.

 O segmento BD corta o segmento AC ao meio.

 O segmento BM é congruente ao segmento MD.

M é o ponto médio do segmento BD

 O segmento AC corta o segmento BD ao meio.

1. Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares. [pic 18]

   

Chamemos aos vértices do losango de A, B, C e D e de O ao encontro de suas diagonais.

Um losango é um paralelogramo em que os 4 lados são iguais. Assim, AB = BC = CD = DA.

No losango as diagonais se encontram em seu ponto médio, ou seja, as semi-diagonais são iguais, duas a duas: AO = OC e BO = DO (1).

Consideremos agora dois dos triângulos formados pelos lados do losango e por suas diagonais. Consideremos os triângulos AOD e AOB.

Nestes dois triângulos, AD = AB, pois são lados do losango. AO é lado comum aos dois triângulos e DO = BO, pois ambos são semi-diagonais (1).

Então, os triângulos AOD e AOB são congruentes, pelo caso de congruência de triângulos LLL (os três lados são iguais).