Matematica Aplicada

FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos: (a) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma relação entre a quantidade consumida e o valor da conta. (b) A receita obtida no final do mês na venda de um determinado produto pelo comerciante é uma relação entre a quantidade vendida e o preço de venda do produto. (c) O salário de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, é uma relação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora (d) O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro. FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos expressá-la por: Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade multiplicada pelo valor unitário. Receita = Quantidade x preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita - Custo Matemática Aplicada Página 3 Professor Gilmar Bornatto 3 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas x, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada x e o preço p. Em geral quando o preço é baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e viceversa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionandose preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as implicações de várias decisões de fixação de preços e produção. Matematicamente é quando: Oferta = Demanda ou Custo = Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço. CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais como capital, trabalho, matéria-prima. Matemática Aplicada Página 4 Professor Gilmar Bornatto 4 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$70,00 cada. O custo total de produção consiste de um sobretaxa de R$8.000,00 somada ao custo de produção de R$30,00 por mesa. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 250 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 2. Um artesão têm um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$450,00 3. Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que, teriam um gasto fixo mensal de R$1.680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$40,00. a) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 70 alunos? 4. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $1,50 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros (x) abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, calcule o valor total pago pelo consumidor utilizando a expressão encontrada no item anterior. 5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B dados em cada item: a) A(1,15) e B(4,30) b) A(2, 18) e B(6,6) c) A(-2,10) e B(6,30) 6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(x) = 3x + 90 e R(x) = 5x, onde x é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break-even poit. b) Obtenha a função Lucro, L(x) e determine as quantidades necessárias para que o lucro Matemática Aplicada Página 5 Professor Gilmar Bornatto 5 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto seja negativo (prejuízo), nulo e positivo. 7. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$1.250,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 8. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x c) R(x) = (1/2)x e C(x) = 20 + (1/4)x 1. Podemos dizer que “o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta”. Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: y = -x + 4 e y = 2x+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os gráficos da oferta e da demanda e indique no gráfico o break-even poit. 2. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja R$ 450,00. O custo variável igual a 60 por cento do preço de venda, que é de R$ 15,00 por unidade. Qual é a quantidade para se atingir o ponto de equilíbrio? 3. A curva de demanda de um artigo é 4 y x = 10 − . Assuma que y representa o preço e x a quantidade. (a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 25,00 (b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades (c) Qual é o preço mais alto que poderá ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4. O custo de um certo produto, no mercado, é dado por C(x) = 6,00 + 3,00x , sendo x o número de unidades produzidas. Qual é o custo de 2.000 unidades desse produto? 5. Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$ 0,90 a unidade, vendendo-a por R$1,50 a unidade. Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2.400,00? Matemática Aplicada Página 6 Professor Gilmar Bornatto 6 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 6. Ao preço de R$ 5,00 por unidade, uma empresa oferecerá mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade ela oferecerá 2.000 unidades. Determine a equação da função de oferta para este produto. 7. O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. a) Se x unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma função de x. b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês ? 8. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por ( ) 2 100 3 2 C x = x + x + x + , sendo x a quantidade produzida, calcule: a. O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria; b. O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria c. A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. 9. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 2 E t t t ( ) 8 210 = − + , onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. b) Qual o consumo mensal médio(considere a média aritmética dos meses do ano) para o primeiro ano? 10. Calcule os pontos de interseção dos gráficos das funções 2 f x x g x x ( ) e ( ) 2 = = . 11. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80,00 . O custo total consiste em uma sobretaxa de $4500,00 somada ao custo da produção de $50,00 por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual será o lucro do fabricante se ele vender 500 unidades? c) Quantas unidades o fabricante terá que vender para obter um lucro de $9.000,00 12. Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a função oferta de um certo produto é 2 f x x x ( ) 3 70 = + − e a função procura (demanda) é f x x ( ) 410 = − . 13. A função receita é dada por ( ) 4 100 2 R x = x + x + e a função custo por C(x) = x +80 , sendo x a quantidade. a) Determine a função lucro L(x) b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10? Matemática Aplicada Página 7 Professor Gilmar Bornatto 7 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 14. As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: y = 2x +80 e y = −4x + 200. a. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. b. Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. c. Para que valores de x o preço de oferta excede o preço de demanda? 15. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8.500 e que o custo variável é R$ 10 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80 por relógio. a. Se x relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x? b. Qual é o lucro no mês de julho se 500 relógios foram vendidos neste mês? 16. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 80. O custo total consiste em uma sobretaxa de R$ 4.500 somada ao custo da produção de R$ 50 por unidade: a. Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b. Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? c. Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 900? 17. Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por x = 200 − 4p , sendo o custo associado C = 4p −12 . Determinar: a. A função receita total, traçando o gráfico correspondente; b. O ponto de break-even* c. A função lucro 18. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por ( ) 80 3000 2 C x = x − x + . Nestas condições calcule: a. A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b. O valor mínimo do custo. 19. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for R$ 150.000,00 por ano, e o variável por unidade de R$20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? 20. Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações: (a) oferta : p =10 + x, demanda : p = 20 − x (b) oferta : p = 3x + 20, demanda: p = 50− x * Ponto de Equilíbrio. Matemática Aplicada Página 8 Professor Gilmar Bornatto 8 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 21. Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p =10 + 0,2x . (a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (b) Se o preço unitário for R$15,00 qual é a oferta diária? (c) Se a função de demanda diária por esses bolos for p = 30 −1,8x , qual o preço de equilíbrio? 22. O consumo nacional total é dado (em bilhões de dólares) pela equação 9yd c = 4,5 + 0, onde d y é a renda disponível. Se a renda disponível é 15 (em bilhões de dólares). (a) Qual é o consumo total? (b) Que proporção do consumo total representa o consumo da renda disponível? 23. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? (c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$1.250,00? 24. A função de demanda de um produto é p = 10 –x, e a função custo é C = 20 + x. Vamos obter: a) A função receita b) A função Lucro c) O preço que maximiza o lucro. 25. Um bombeiro hidráulico cobra uma taxa de R$31,00 e mais R$2,60 a cada meia hora de trabalho. Um outro cobra R$25,00 e mais R$3,20 a cada meia hora. Ache um critério para decidir que bombeiro chamar, se forem levadas em conta apenas considerações de ordem financeira. 26. Uma agência de aluguel de carros cobra uma diária de R$ 25,00 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em função do número de quilômetros dirigidos e construa o gráfico. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 200 km de um dia? c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de R$ 45,20 centavos? 27. Quando o preço de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer S = 4p + 300 produtos, enquanto a demanda local é de D = −2p + 480. a) Para que preço de mercado a oferta será igual a demanda local? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$ 20,00, haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? d) Construa os dois gráficos no mesmo par de eixos. Matemática Aplicada Página 9 Professor Gilmar Bornatto 9 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 28. As funções oferta e procura de um determinado produto são dadas, respectivamente, por S = p2 + 3p - 70 e D = 410 – p. a) Para que preço de mercado a oferta será igual à demanda? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$25,00 haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? “A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos” Aristóteles DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação. A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto. O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam xo e xo + ∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + ∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + ∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento da função f), onde ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte: Matemática Aplicada Página 10 Professor Gilmar Bornatto 10 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é x y x o Δ Δ Δ → lim = x o x f x o f x o x x Δ + Δ − Δ → ( ) ( ) lim se ele existir e for finito. Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo. NOTAÇÕES DA DERIVADA A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo: f ’(x) ou dx df ou dx dy ou y’ EXEMPLOS 1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto xo = 2. Matemática Aplicada Página 11 Professor Gilmar Bornatto 11 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 1 2 8 4( ) 2 4 ] 1 2 2 ( ) 2 1 4 [( ) 2 f(x ) 4 ( ) f(x ) 4x 1 ), : o ) f(x o f(x 0 0 0 0 2 0 0 0 = + Δ + Δ + + Δ = ⋅ + Δ + = ⋅ + Δ + Δ + = = + + Δ x x x x x x x x x x x Calculando e x temos o Solução Portanto: f '(2) = 4 + = Δ → = = ⋅ + Δ → = + Δ → = + + − Δ → = = + + Δ − Δ → = Δ + Δ − Δ → = + Δ = + Δ = + ⋅ ⋅Δ + Δ = + + Δ = ⇒ = = + Δ (4 x) 4 x x (4 x) x 2 4 x ( x) x 4 2 4 4 x ( x) x ] (4) 2 [4 4 x ( x) Δ x 0 lim Δ Δ Δ x 0 lim Δ Δ Δ x 0 lim Δ Δ Δ x 0 lim Δ Δ x 0 lim x f(x ) f(x ) x 0 f '( xo ) lim Δ 2 2 2 ( ) 2 2 2 f(x ) (2 ) f(x ) x ² f(2) 2² f(x ) f(x ) , : 0 0 0 0 0 0 0 x Substituindo na definição de derivada: x x x x Calculando e x temos 2 4 4 x ( x) 4 2) Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 + 1, através da definição. Solução Matemática Aplicada Página 12 Professor Gilmar Bornatto 12 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Portanto, f '(x 0) = 8 x0

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