Valores extremos

[pic 3]

1.6 Valores extremos e pontos de sela

1. Encontre todos os pontos (x, y) onde f(x, y) pode ter máximo ou mínimo relativo.

a) f(x, y) = x2 – 3y2 + 4x + 6y + 8

b) f(x, y) = [pic 4]x2 + y2 – 3x + 2y – 5

c) f(x, y) = x2 - 5xy + 6y2 + 3x – 2y + 4

d) f(x, y) = - 3x2 + 7xy – 4y2 + x + y

e) f(x, y) = x3 + y2 – 3x + 6y

f) f(x, y) = x2 – y3 + 5x + 12y + 1

g) f(x, y) = [pic 5]x3 – 2y3 – 5x + 6y – 5

h) f(x, y) = x4 – 8xy + 2y2 – 3

1.  A função f(x, y) = 2x +  3y + 9 – x2 – xy – y2 tem um máximo em algum ponto (x, y). Encontre os valores de x e y onde este máximo ocorre.

1.  A função f(x, y) = [pic 6]x2 + 2xy + 3y2 – x + 2y tem um mínimo em algum ponto (x, y). Encontre esse ponto.

1.  Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:

a)  f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 – 6x + 2y

b) f(x, y) = x2 + y3 + xy – 3x – 4y + 5

 

c) f(x, y) = 3x2 – 6xy + y3 – 9y

d) f(x, y) = x2 – 2xy + 4y2 

e) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 5y2 

f) f(x, y) = - 2x2 + 2xy – y2 + 4x – 6y + 5

g) f(x, y) = x3 – y2 – 3x + 4y

1.  Considere a função f(x, y, z) função com 3 variáveis. Se o ponto (x0, y0, z0) é um ponto de máximo local ou mínimo local, então [pic 7]=[pic 8]=0. Encontre os possíveis valores de x, y, z para os quais f(x, y, z) = 2x2 + 3y2 + z2 – 2x – y – z atinge o seu ponto de mínimo.

1. Encontre as dimensões de uma caixa retangular que tenha um volume de 1000cm3 e superfície mínima.

1.  Uma companhia produz e vende dois produtos, denominados por I e II, os quais são vendidos por R$ 10,00 e R$ 9,00 por unidade respectivamente. O custo para produzir x unidades do produto I e y unidades do produto II é C(x, y) = 400 + 2x + 3y + 0,01(3x2 + xy + 3y2). Encontre os valores de x e y que maximizam o lucro da companhia. (obs: Lucro = Faturamento – Custo).

1. Um monopolista fabrica e vende dois produtos denominados por I e II, que custam R$ 30,00 e R$ 20,00 por unidade respectivamente, para serem produzidos. O faturamento com a comercialização de x unidades do produto I e y unidades do produto II é

98x + 112y – 0,04xy – 0,1x2 – 0,2 y2.

    Encontre os valores de x e y que maximizam os lucros do monopolista.

1. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo retângulo e com 1m3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

RESPOSTAS:

1)

a) ( -2, 1)                                     b) (3, -1)                                     c)  (26, 11)                    

d) (- 15, -91/7)                              e) (1, - 3) ou ( -1, - 3)                    f) (- 5/2, 2) , (- 5/2, -2)             

g) ([pic 9], 1), ([pic 10], - 1),( - [pic 11], 1),(-[pic 12], -1)              h) (0, 0), (2, 4), ( - 2, - 4)