A CVL - INTEGRAL

Modelagem Matemática e Sistemas Dinâmicos

2ª Lista de Exercícios – Revisão de EDO – Definições e Terminologia

Estabeleça se a equação é linear ou não-linear.

1) (1 – x) y’’ – 4xy’ + 5y = cosx                                 2) [pic 3]

3) (y2 -1) dx + x dy = 0                                               4) udv + (v + uv – euu) du = 0

5) t5y(4) – t3y’’ + 6y = 0                                              6) [pic 4]

7) [pic 5]                                                8) [pic 6]

9) (senθ) y’’’- (cosθ) y’ = 2                                      10) [pic 7]

Verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição apropriado I.

11) 2y’ + y = 0;  y = e-x/2                                           12) [pic 8][pic 9]

13) y’’ - 6y’ + 13y = 0;  y = e3x cos2x                       14) y’’ + y = tg x;  y= - (cosx) ln(secx + tgx)

Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso. Use um programa de criação de gráficos das soluções explícitas. Encontre o intervalo de I de cada solução φ.

15) [pic 10][pic 11]                16) 2xy dx + (x – y) dy = 0;  -2x2 y + y2 = 1                        [pic 12]

Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado de cada solução.

17) P’ = P(1 – P);  P =[pic 13]                                           

18) y’ +2xy = 1;  [pic 14]

19) [pic 15] [pic 16]

20) [pic 17] [pic 18]

21) (a) Verifique se y = φ1(x) = x2  e  y = φ2(x) = -x2  são soluções da equação diferencial xy’– 2y = 0 no intervalo (-∞, ∞).

       (b) Verifique que a função definida por partes [pic 19], também é uma solução de xy’ - 2y = 0 no intervalo (-∞, ∞).

22) Em nossa aula teórica, vimos que y = φ1(x) =[pic 20]  e  y = φ2(x) = -[pic 21]são soluções da equação diferencial dy/dx = -x/y no intervalo de (-5, 5). Explique porque a função definida por partes

[pic 22], não é uma equação diferencial no intervalo (-5, 5).

23) (a) Dê o domínio da função y = x + 2[pic 23].

      (b) Verifique que a função do item (a) é uma solução da equação diferencial (y – x)y’ = y – x + 2 em algum intervalo I. Dê o maior intervalo de definição I dessa solução.

24) A função indicada é uma solução é uma solução da equação diferencial dada. Ache pelo menos um intervalo de definição I de cada solução.

(a) y’ = 25 + y2;  y = tg 5x                            (b) 2y’ = y3 cos x;  y = (1 – sen x)-1/2

25) Ache os valores de m de tal forma que y = emx seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio.

(a) y’ + 2y = 0                                               (b) y’’- 5y + 6y = 0        

26) Ache os valores de m de tal forma que y = xm seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio.

(a) xy’’ + 2y’ = 0                                               (b) x2y’’+ 7xy’ + 15y = 0        

Nos problemas 27 e 28, observe que o par de funções dado é uma solução dos sistemas de equações diferenciais dado no intervalo (-∞, ∞).

27) x = e-2t + 3e6,   y = -e-2t + 5e6t;

[pic 24] 

[pic 25]

28) x = cos 2t + sen 2t + et/5,   y = -cos 2t –sen 2t - et/5;

[pic 26] 

[pic 27]

Exercícios destinados a laboratório de computação

Nos problemas 29 e 30, use um SAC (Sistema Algébrico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada.