A MATEMÁTICA APLICADA

PROBLEMA 01:

Considere uma função de produção p que depende da quantidade x de um fator variável.  Chama-se produtividade marginal do fator à derivada de p em relação a x.  Admita agora a função de produção  p(x) =  90 . x0,5 ,  em que p é o número de toneladas (quantidade) produzido por mês de um produto e  x  o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora).  Utilizando a produtividade marginal, podemos afirmar que se  x = 10.000, ou seja, se aumentarmos a quantidade de homens-hora trabalhando de 10.000 para 10.001, teremos:

   a)  Um decréscimo na produção de 0,45 tonelada,

   b)  Um acréscimo na produção de 45 tonelada,

   c)  Um aumento na produção de 0,45 tonelada

   d)  Um decréscimo na produção de 0,90 tonelada

   e)  Um aumento na produção de 0,90 tonelada,

Resolução:   Se  p(x) =  90 .  x0,5  ,  então a derivada de  p  será:  

p´ =  90 . 0,5 x0,5 - 1   =>   45 . x  -0,5  =  45 .  1 / x  0,5 

para  x = 10.000  =>  p´(10.000)  =  45 / 10.000 0,5 

p´(10.000) =  45 / 100 =  0,45  =>  p´(10.000) = 0,45  toneladas  →  Alternativa (c)

Logo, se o número de homens-hora passar de 10.000 para 10.001,

o aumento na produção mensal será de aproximadamente 0,45 tonelada.

PROBLEMA 02:

A taxa de variação instantânea da receita obtida com a venda de x unidades de um produto é dada pela receita marginal R’(x)  e fornecida através da função quadrático a seguir:

R’(x) =  6x – 1,5x²

Sabe-se que, com a venda de 10 unidades, a receita (total) obtida foi de R$ 15.000.

Desta forma, determine a receita (total) para uma venda de 30 unidades.

Resolução:    Foi dada  R’(x) =  6x – 1,5x²

A receita total será: R(x) =    =>  R(x) =  6 .    –  1,5 .    + c  =>  R(x) =  3x2 –  0,5x3 + c[pic 1][pic 2][pic 3]

Cálculo de c  => como na venda de 10 unidades a receita (total) foi de R$ 15.000,  ou seja,  R(10) = 15.000,  teremos:

R(10) =  3 . 102 – 0,5 . 103 + c   =>    15.000  =  3 . 100 – 0,5 . 1.000 + c

        15.000 =  300 – 500 + c  =>   15.000 =  -200 + c

        

15.000 + 200  =  c     =>    c =  15.200

Logo, a expressão da receita (total) é:    R(x) = 3x2 – 0,5x3 + 15.200

Para  x = 30 unidades,   R(30) =  3 . 302 – 0,5 . 303 + 15.200

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