Conjunto dos reais

Universidade do Sul de Santa Catarina –Campus UnisulVirtual

Unidade de aprendizagem Virtual: Matemática

Transcrição acessível da web aula, unidade 1 – com o título de “Conjuntos numéricos e operações elementares.”, disponível o EVA.

Prof. Jefferson Jacques Andrade

Parte 1

Querido aluno,

Vamos começar nossa caminhada falando dos conjuntos numéricos. Vamos começar primeiro, com o conjunto dos números naturais. O conjunto dos números naturais surge com a necessidade do homem de fazer contagem, ou seja, este conjunto está muito associado a contagem. Quando a gente fala em conjuntos numéricos, o primeiro conjunto que a gente aprende é o conjunto dos números naturais, representado por N. E quem são os números naturais? Os números naturais se iniciam no zero e vai até o infinito N {0, 1, 2, 3, 4, 5...}, ele tem um início (que é o zero), mas não tem fim. No conjunto dos números naturais, nós obtemos sempre o próximo elemento somando uma unidade: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3 e assim sucessivamente. O que que eu quero dizer com isso? Que todo número natural tem um sucessor, mas atenção! Nem todo numero natural te um antecessor! Pois antes do zero eu não tenho absolutamente nenhum número (nenhum numero natural). Outra importância dos conjuntos naturais é que, entre dois números naturais não existe nenhum numero! Há um “abismo” entre eles! Ou seja, entre dois números naturais consecutivos não existe nada. Dentro dos naturais ainda, nós podemos ter o conjunto dos naturais com um asterisco N*, isso quer dizer que a este grupo pertencem os naturais não nulos! Ou seja, todos os números naturais com exceção do zero N* {1, 2, 3, 5...}.

Vamos prestar bastante atenção agora, na parte de operações com números naturais. Que tipos de operações estão definidas dentro do conjunto dos números naturais e que operações não estão definidas? A primeira operação que está definida dentro do conjunto dos números naturais é a operação de adição. O que eu quero dizer com “está definida dentro dos naturais”? Quer dizer que a soma de dois números naturais quaisquer, tem como resultado, outro numero natural. Exemplo: 2 + 4 = 6. Isto implica que qualquer adição feita com números naturais resultará em número natural. Na operação de multiplicação, assim como na adição, o produto de dois números naturais resultará em um número natural. Exemplo: 2 x 4 = 8.

Então todas as operações estão definidas dentro dos naturais? Não! Subtração e divisão não estão definidas dentro dos naturais! Pois existem situações em que a operação entre dois números naturais não tem como resposta um número natural. Logo, essa operação não está definida dentro deste conjunto. Exemplo: 2 – 4 = -2 ( -2 não pertence aos naturais); 2 / 4 = 0,5 ( 0,5 não pertence aos naturais).

Nós temos que entender que: O conjunto dos números naturais tem um início (inicia-se no zero), para obter o próximo elemento vou sempre somando um elemento, e entre dois naturais consecutivos não existe nada entre eles. Outra atenção importante são as operações definidas dentro dos naturais. Quando eu falo que uma operação está definida dentro de um conjunto, significa que, operando com elementos deste conjunto, a resposta tem que estar dentro deste conjunto. Ok para todos? Eu espero que você tenha entendido bem essa questão do conjunto dos números naturais.

Parte 2

Conjunto dos números inteiros

Olá querido aluno, vamos falar agora do conjunto dos números inteiros.

Na primeira parte nós falamos do conjunto dos números naturais, agora, nós vamos pegar esse conjunto dos números naturais e vamos dar uma ampliada nesse conjunto. Em que sentido essa ampliação? Em responder algumas perguntas ou compreender algumas situações cotidianas que nós escutamos, mas que o conjunto dos números naturais não vai dar conta. Vamos dar um exemplo bem simples? Peque seu extrato bancário e dê uma olhada nele. Você vai perceber que no extrato bancário aparecem valores com sinais positivos na frente e valores com sinais negativos na frente. Às vezes o sinal positivo é omitido, mas sempre que há esse sinal negativo na frente de um numero, ele esta dando a ideia de um elemento oposto à um elemento positivo. O conjunto dos números inteiros nada mais é que o conjunto dos números naturais acrescido de seus elementos opostos (com exceção do zero), vem comigo e da uma olhadinha na explicação!

Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros é indicado pela letra Z, então, quem são os inteiros? Lembra dos naturais? Nos naturais tinha um início que era o zero, já nos inteiros eu não tenho um início! Não existe um número que começa o conjunto dos números inteiros! E ele vem de ordem crescente! Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, ou seja, não existe um começo e não existe um fim. Lá nos eu disse assim: “ Todo número natural tem um sucessor, mas nem todo natural tem um antecessor” e citei o caso do zero. Agora, no conjunto dos números inteiros, todo número inteiro tem um antecessor, e todo número inteiro tem um sucessor. Como que eu obtenho um antecessor? Subtraindo uma unidade! E como eu obtenho um sucessor? Somando uma unidade! Vamos ressaltar que entre dois numero inteiros consecutivos não existe nada entre eles.

Dentro do conjunto dos inteiros, existe alguns subconjuntos que é importante ressaltar! Até pra que você possa entender bem a simbologia. Vejamos alguns exemplos:

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} ; Inteiros não nulos

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} ; Inteiros não negativos

Z - = {..., -,3,- 2, -1, 0} ; Inteiros não positivos

Estes são subconjuntos dos números inteiros.

Bastante atenção agora! O conjunto dos números inteiros trás um elemento extremamente importante, que nós chamamos de “surgimento do elemento oposto”. Veja bem, no conjunto dos números inteiros existe um elemento chamado de “elemento oposto”! Todo número tem um elemento oposto! Com exceção do zero, o único que não tem oposto. Veja o exemplo:

(2)- seu oposto será = -2

(-3) - seu oposto será