Derivada

A derivada é uma das ferramentas mais importantes da matemática. Para entender a derivada é preciso saber, também, o conceito de taxa de variação media (TVM) e taxa de variação instantânea (TVI). São conceitos essenciais para compreender a derivada.

Taxa de Variação

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A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, na prática, tem unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidades de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.

Exemplo: Determinar a taxa de variação media da produção para o intervalo de tempo das 3h ate as 4h.

TVM de f(x) para o            f(4) – f(3)   =  4² - 32  = 16 – 9 = 7 ton/h

intervalo de 3 ate 4  =           4 - 3               1                

A taxa de variação media da produção aumenta com o tempo pois a produção é crescente,  isso é observado graficamente, se notarmos que o gráfico de tal função é um parábola com a concavidade voltada para cima.

A taxa de variação instantânea serve para calcular tal taxa em um instante especifico.

Para calcular a taxa de variação instantânea exatamente em um instante, é preciso calcular varias taxas de variação media para intervalos de tempos bem pequenos cada vez mais próximos do instante sugerido.

Considerando o instante x = 2, e pegando, para a taxa de variação media, os intervalos de 2 ate 2 + h:

TVM de f(x) para o                  f(2 + h)  - f(2)   

intervalo de 2 ate 2 + h  =                h                                     

• Jogando valores para h = 0,1; 0,01 e 0,001. E, fazendo TVM, os resultados desses valores vão sempre estar muito próximos.

• h = 0,1

 TVM de f(x) para o                     f(2 + 0,1)  - f(2)   = f(2,1) – f(2)  

intervalo de 2 ate 2 + 0,1  =                0,1                            0,1        

TVM de f(x) para o                     2,12 -  22   = 0 ,41 = 4,1    

intervalo de 2 ate 2,1  =                 0,1            0,1        

• h = 0,01

TVM de f(x) para o                     f(2 + 0,01)  - f(2)   = f(2,01) – f(2)  

intervalo de 2 ate 2 + 0,01  =                0,01                       0,01        

TVM de f(x) para o                     2,012 -  22   = 0 ,0401 = 4,01   

intervalo de 2 ate 2,01  =                 0,01              0,01      

• h = 0,001

TVM de f(x) para o                     f(2 + 0,001)  - f(2)   = f(2,001) – f(2)  

intervalo de 2 ate 2 + 0,01  =                0,001                       0,001        

TVM de f(x) para o                     2,0012 -  22   = 0 ,004001 = 4,001   

intervalo de 2 ate 2,001  =               0,001                0,001      

Com isso, a taxa de variação media sendo calculada para intervalos de 2 ate um instante pouco maior que 2, nota-se que, cada vez mais, a taxa se aproxima do valor 4. E, agora, calculamos as taxas de variação media para intervalos de um instante pouco menor que 2 ate o instante 2, e ver se esses também vão se aproximar de 6. Para isso, é só jogar valores negativos.

• Jogando valores para h = - 0,1; - 0,01 e - 0,001.

• h = - 0,1

TVM de f(x) para o                     f(2 - 0,1)  - f(2)   = f(1,9) – f(2)  

intervalo de 2 ate 2 - 0,1  =               - 0,1                     - 0,1        

TVM de f(x) para o              1,92 -  22   = - 0,39 = 3,9   

intervalo de 2 ate 1,9 =          - 0,1            - 0,1      

• h = - 0,01

TVM de f(x) para o                      f(2 - 0,01)  - f(2)   = f(1,99) – f(2)  

intervalo de 2 ate 2 - 0,01  =               - 0,01                     - 0,01        

TVM de f(x) para o              1,992 -  22   = - 0,0399 = 3,99