MATEMATICA

Empresa: Consultoria Lifbal LTDA

Etapa 1:

Passo 1:

Introdução

                O conceito de derivada foi introduzido em meados do século XVII em estudos de problemas de Física ligados à pesquisa dos movimentos Em Economia e Administração o conceito de derivada é utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas de variação de funções.

Taxa de Variação Média

Para entendermos o conceito de taxa de variação média, consideremos uma função f(x) e dois pontos de seu domínio, x0 e x1; e sejam f(x0) e f(x1) as imagens dos respectivos pontos considerados.

Chamamos taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente:

[pic 1]

Essa taxa mede o ritmo de variação da imagem em relação à variação de x. Observemos ainda que a taxa média de variação depende do ponto de partida x0 e da variação de x, dada por x1 – x0.

Usando o símbolo ∆ para indicar uma variação, podemos indicar a taxa média de variação de f pela relação:

[pic 2]

Gráfico: Taxa de variação de uma função:

[pic 3]

Exemplo:

Sejam a função f(x) = x2, o ponto inicial de abscissa x0 = 1 e a variação ∆x = 2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:

[pic 4]

Isso significa que se x variar 2 unidades (a partir de x0 = 1) a variação de f será 4 vezes maior, pois ∆f = 8, enquanto ∆x = 2.

Taxa de variação instantânea

A noção de taxa de variação instantânea está relacionada com a noção de limites de uma função. Consideremos o seguinte exemplo:

Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2000 m de altura e que a função f(t) = 2000 - 10t2, onde t é o temo em segundos.

A taxa de variação média dessa função representa a velocidade média do objeto em cada intervalo de tempo considerado. Verificamos que, se considerarmos uma taxa de variação de 5 segundos, no primeiro intervalo de tempo (0 a 5 segundos), a velocidade média será: . No segundo intervalo, a velocidade média será: .[pic 5][pic 6]

Isso nos mostra que, para uma mesma taxa de variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente. Deste modo, muitas vezes é mais interessante calcular a velocidade de um objeto em um determinado instante, que será sua taxa de variação instantânea, ou velocidade instantânea. Assim, no exemplo considerado, calculemos a velocidade instantânea para t = 5 segundos. Para isso, consideremos a taxa de variação do tempo no intervalo [5 ; 5 + ∆t), onde ∆t é a variação desse intervalo:

[pic 7]

[pic 8]

 
[pic 9]

Calculemos a velocidade média para valores de ∆t cada vez menores: [pic 10]

Verificamos, assim, que a velocidade média está se aproximando de 100 m/s. A velocidade instantânea é, assim, o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no ponto t = 5 é dada por:

[pic 11]

Esse limite da taxa média de variação quando Dt tende a zero é chamado derivada da função f(t) no ponto t = 5.

Conceito de Derivada

Seja f(x) uma função e x0 um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de f no ponto x0, se existir e for finito, o limite dado por:

[pic 12]

Indica-se a derivada de f(x) no ponto x0 por f ́(x0) ou  ou ainda por .[pic 13][pic 14]

Exemplo:

Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x0 = 3? Temos:

[pic 15]

[pic 16]

Isso significa que um pequeno acréscimo ∆x dado a x, a partir de x0 = 3, acarretará um correspondente acréscimo ∆f que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo ∆x.

As derivadas têm inúmeras aplicações sendo as mais importantes em um curso introdutório de Cálculo, a maximização e minimização de funções, crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão, sendo que essas últimas constituem uma importante ferramenta na construção de gráficos de funções.

Referência Bibliográfica

MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel, BUSSAB. Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.

Passo 2:

Tabela 1 – Função Custo

Quantidade “x” do produto B a ser produzido	0	10	20	30	40	50	60
C(x) = x2-40x+700 Custo para produzir x unidades do produto B	700	400	300	400	700	1200	1900

C(0) = 02 - 40.0 + 700 = 700

C(10) = 102 - 40.10 + 700 = 100 - 400 + 700 = 400

C(20) = 202 - 40.20 + 700 = 400 – 800 + 700 = 300

C(30) = 302 - 40.30 + 700 = 900 – 1200 + 700 = 400

C(40) = 402 - 40.40 + 700 = 1600 – 1600 + 700 = 700

C(50) = 502 - 40.50 + 700 = 2500 – 2000 + 700 = 1200

C(60) = 602 - 40.60 + 700 = 3600 – 2400 + 700 = 1900

[pic 17][pic 18]

Passo 3:

Análise da tabela:

• Pela tabela, observamos que mesmo quando não houver produção de sapatos, a empresa terá um custo de 700 reais. Este custo refere-se ao pagamento do aluguel do terreno onde a empresa encontra-se instalada, pois mesmo não havendo produção o aluguel deverá ser pago.
• Pela tabela e pelo gráfico acima, podemos concluir que a quantidade “ótima” de produção diária será de 20 pares de sapatos, que terá um custo mínimo de 300 reais.
• Observamos também que quando não houver produção e quando for produzido 40 pares de sapatos, o custo será o mesmo (700 reais).

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Etapa 2:

Passo 1:

Aplicações das Derivadas nos Estudos das Funções

As derivadas têm inúmeras aplicações sendo as mais importantes em um curso introdutório de Cálculo, a maximização e minimização de funções, crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão.

Máximos e Mínimos de uma função