MATEMATICA APLICADA

INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos tratar mais detalhadamente sobre o termo Derivada. O que o mesmo significa e como aplicarmos ele na prática. Explicaremos como Fermat chegou a esse conceito, e como Newton e Cauchy aprimoraram este conceito.

Trataremos sobre as técnicas de derivação, desenvolvendo e aprendendo a resolver problemas de máximos e mínimos.

Estes são os assuntos que desenvolveremos ao decorrer desta primeira parte do trabalho.        

                                                                        Boa leitura!

ETAPA 1-

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        A origem do Conceito de Derivadas iniciou-se por Fermat (Pierre Fermat), pois ele foi o primeiro a considerar várias curvas inteiras de uma só vez. A isso deram o nome de “Parábolas superiores”, denominadas curvas da forma Y=Kx, onde K é constate e N=2, 3, 4, 5... Dessa forma o estudo da geometria teve grandes contribuições para o desenvolvimento das derivadas.

        Fermat se dedicava ao estudo de funções, quando se deu conta da LIMITAÇÃO do conceito clássico da reta da tangente, se dedicou então aos estudos e reformulou tal conceito. Achando importante encontrar um processo de traçar a tangente a um gráfico num determinado ponto, tal dificuldade passou a ser conhecida como “Problema da Tangente” no mundo matemático.

        Pierre Fermat solucionou o problema de uma maneira muito simples: para se determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva, considerou a reta PQ secante a uma curva. Assim fez deslizar Q ao longo da curva em direção de uma reta T, a este caso Fermat chamou a reta tangente a curva que encontrava-se no ponto P. Ele percebeu portanto que para certas funções a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x), F(x) com o valor assumido no outro ponto Q(x+e),F(x+e)  próximo de P, a diferença entre F(x+e) e F(x) era muito pequena, na verdade quase nula, quando comparada com o valor de E, a diferença das abcissas de Q e P. Estava portanto solucionado o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas.

        Estas principais idéias constituíram o que conhecemos hoje por DERIVADAS, porém o conceito não estava claramente definido.

        No século XIX Cauchy, introduziu formalmente o conceito de derivada. E a partir do século XVII, tornou-se indispensável com aprimoramentos de Leibniz e Newton.

        Issac Newton desenvolveu o cálculo como a idéia voltada para a taxa de variação, ou seja, a velocidade. Já Leibniz, teve a idéia central do cálculo ser uma diferencial, onde ela é a diferença entre dois valores próximos de uma variável.

        Contudo, atualmente temos como definição de Derivadas:

• A derivada de uma Função f é a função f ’, que é definida pela seguinte fórmula:

        A derivada f ’ pode ser interpretada de duas maneiras:

1. Como inclinação da Tangente:

        A função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico y=f(x), ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gráfico de y=f(x).

1. Como taxa de Variação:

        A função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y em

relação a X no ponto X, ou seja, se Y=f(x), a taxa instantânea de y em relação a X é F(x).

        A derivada é utilizada para muitas grandezas físicas, para qualquer conhecimento de quantidade ou de grandeza, desde que este esteja representado por uma função.

        A aplicação da derivada é muito variada, mas em todos os casos está sempre relacionado a uma taxa de variação. Entre as mais diversas aplicações da derivada, muitas delas estão ligadas com tempo, custo, pressão, temperatura, volume, ou seja qualquer quantidade que possa ser representada por uma função. Portanto derivada é mais do que a inclinação de uma reta tangente a uma curva.

        O estudo da derivada apresenta diversas aplicações na pratica em nosso dia-a-dia.

Quantidade “X” do Produto B a ser produzido	0	10	20	30	40	50	60
C(x)=x²-40+700 custo para produzir q unidades do produto B	700	400	300	400	700	1200	1900

        A ACEGIS consultoria Ltda, pode notar que, uma empresa mesmo não produzindo gera gastos como, energia elétrica, água, impostos, manutenção e funcionários, por exemplo deverão ser pago mesmo que a mesma não produza nada em um dia. Estas são algumas das despesas que conhecemos como gastos essenciais, e que são imprescindíveis em qualquer organização.

        Acreditamos que para a “Calçar-Bem LTDA”, venha a uma produção eficaz, devem produzir uma média de 30 pares de calçados diariamente. Pois com esta média evitaremos o desgaste das máquinas, o desperdício de materiais, e ainda alcançaremos um resultado positivo em questão de produção, além é claro de baixo custo.

ETAPA 2-

        A derivada em geral, assume valores diferentes, em pontos diferentes, é também uma função.

        A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa segundo a qual o valor da função está variando naquele ponto. Assim então, pensamos em derivada como sendo a inclinação da curva, ou o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto.

        Veja o exemplo a seguir:

1. Estime a derivada da função f(x), em que x= -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Estimamos a derivada em qualquer ponto, desenhando assim a reta tangente naquele ponto

        Para cada valor de x, existe um valor correspondente na derivada. Portanto, a derivada é ela própria em função de x.