Programa de Pós-Graduação em Administração

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Sociais Aplicadas

Programa de Pós-Graduação em Administração

Disciplina: Economia Financeira

Docente: Dr. Sinézio Fernandes Maia

Discente: Rayanna Mykaelle Macedo de Almeida

Resumo do capítulo 14 “Modelos Não-lineares” do livro Análise das séries temporais de Morettin e Toloi.

1 Introdução

Os modelos lineares do tipo ARIMA não são adequados para descrever o comportamento das séries financeiras, uma vez que essas apresentam variância condicional que evolui no tempo. Deste modo se tem os modelos ARCH e suas extensões para tanto. Assim o objetivo do capítulo em questão consiste em “modelar o que se chama de volatilidade, que é a variância condicional de uma variável, comumente um retorno”.

2 Alguns modelos não-lineares

Na análise dos modelos não-lineares os choques aleatórios, , são em geral variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, i.i.d., e o modelo forma a seguinte configuração:[pic 1]

[pic 2]

Onde g(.) é a média condicional e  é a variância condicional ou volatilidade. Caso g(.) seja não-linear temos que o modelo é não linear na média, e se  for não-linear, o modelo é não-linear na variância. [pic 3][pic 4]

Entre os modelos não-lineares podemos citar:

1. Modelos Polinomiais;
2. Modelos Bilineares;
3. Modelos Lineares por Partes;
4. “Switching Models”.

3 Modelos ARCH

Os modelos ARCH ou modelos auto-regressivos com heteroscedasticidade condicional, foram introduzidas por Engle (1982) com o objetivo de estimar a variância da inflação. O modelo parte do pressuposto de que o retorno  é não correlacionado serialmente, mas a volatilidade depende de retornos passados por meio de uma função quadrática.[pic 5]

DEFINIÇÃO

O modelo ARCH pode ser definido por:

[pic 6]

Onde,  é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média zero e variância um,  , [pic 7][pic 8][pic 9]

Na prática  tem distribuição normal ou distribuição t-student com v graus de liberdade. E os  devem satisfazer certas condições, dependendo do tipo de imposição que colocamos sobre processo .[pic 10][pic 11][pic 12]

Os retornos apresentam geralmente caudas longas, de modo que a curtose é maior do que 3. A curtose é dada pela diferença entre  e . Esta característica é uma propriedade vantajosa do modelo, em compensação uma desvantagem do modelo é que trata os retornos positivos e negativos de forma similar, pois os quadrados dos retornos entram na fórmula da volatilidade, além ao termos retornos ao quadrado alguns retornos grandes e isolados podem levar a super-previsões.[pic 13][pic 14]

Um ponto a ser destacado no modelo é que períodos de alta volatilidade coincidem a épocas de crises em diversos países e no Brasil, assim tem influência no mercado brasileiro.

[pic 15]

 E os retornos possuem valores afastados da parte central da distribuição, ou seja, apresenta caudas longas.

[pic 16]

IDENTIFICAÇÃO

Para construir o modelo ARCH deve-se tentar ajustar modelos ARMA, e para saber se há  heteroscedasticidade condicional dois testes podem ser utilizados, examinando-se a série . [pic 17]

1. Teste de Box-Pierce-Ljung para .[pic 18]
2. Teste de multiplicadores de Lagrange (ML) de Engle (1982). O procedimento consiste em testar :  para todo , na regressão[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Para  A estatística do teste é[pic 23]

[pic 24]

Em que  é o quadrado do coeficiente de correlação múltipla da regressão vista na fórmula anterior.[pic 25]

Quando se tem amostras pequenas um teste escolasticamente equivalente deve ser feito sendo conduzido pela estatística:

[pic 26]

Se o valor de F for significativo é possível dizer que há heterocedasticidade condicional na série.

ESTIMAÇÃO

Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método de máxima verossimilhança condicional. Supondo a normalidade de , a função de verossimilhança condicional é dada por:[pic 27]

[pic 28]

Em que para um N grande, o último termo do produto do lado direito pode ser desconsiderado, assim o modelo ARCH assume a seguinte configuração:

[pic 29]

Em algumas aplicações se faz necessário assumir que  têm distribuição t-student padronizada, ou seja, [pic 30]

[pic 31]

Desde modo tem-se:

[pic 32]

E a função de verossimilhança condicional proposta assume o seguinte formato:

[pic 33]

E por sua vez os estimadores de máxima verossimilhança de  são obtidos maximizando-se [pic 35].[pic 34]

VERIFICAÇÃO

Uma forma de verificar a adequação do modelo é calcular a estatística de Ljung-Box para a seguência de . Além disto, também pode fazer o calculo dos coeficientes de assimetria e curtose e um QQ-plot pode ser usado para estar a validade da distribuição normal.[pic 36][pic 37]

Ainda mais pode-se aplicar a sequência , o teste ML (Lagrange), que permite verificar se ainda há heterocedasticidade condicional nos resíduos do modelo.[pic 38]

PREVISÃO

A previsão para a volatilidade por meio do modelo ARCH (r), pode ser feita a partir dos seguintes passos:

1. Ajustar um modelo ARMA(p,q) à série de retornos, afim de eliminar a correlação serial entre as observações;
2. Verificar se os resíduos do modelo apresentam heterocedasticidade condicional por meio do teste de multiplicadores de Lagrange, onde caso o P-valor seja alto tem-se um modelo bem ajustado.
3. Verificar a adequação do modelo por meio da estatística de Ljung-Box (para os resíduos e os quadrados dos resíduos).

4 Modelos GARCH

Os modelos GARCH são a generalização dos modelos ARCH proposto por Bollerslev (1986). Esta gerenarilização deu resultado a modelos para descrever a volatilidade com menos parâmetros que os modelos ARCH.

DEFINIÇÃO

Um modelo GARCH pode ser definido por:

[pic 39]

Onde  é i.i.d (0,1),  As constantes e  são calculados usando Regressão Linear.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Assim como no modelo ARCH, os  são normais e seguem uma distribuição t-Student.[pic 44]

Deste modo temos:

[pic 45]

E ao substituir na fórmula de definição se obtém: