Propriedades das Progressões Geométricas

Propriedades das Progressões Geométricas

1.ª propriedade 

Numa P.G. com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.

Exemplo: 

Na PG (3, 6, 12), temos:

2.ª propriedade 

O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao produto desses extremos.

Exemplo: 

Na P.G. (4, 8, 16, 32, 64), temos:

4.64 = 8.32 = 256

3.ª propriedade 

A seqüência (a, b, c), com a 0, se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos, isto é, b2 = 4ac.

 

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA 

Dada a  P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an...), de razão [pic 1] e a soma Sn de seus n termos pode ser expressa por: 

Sn = a1+a2+a3+a4... +an(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem: 

q.Sn = (a1+a2+a3+a4... +an).q 

q.Sn = a1.q+a2.q+a3 +.. +an.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),  

temos:  

[pic 2] 

q.Sn - Sn = an . q - a1   

[pic 3]Sn(q - 1) = an . q - a1[pic 4][pic 5] ou  

[pic 6] , com [pic 7]  

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:  

[pic 8]

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA 

Dada a  P.G. infinita: (a1, a2, a3, a4, ...), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

         an = a1. 

1. Se a1= 0 [pic 9]S = 0, pois  

2. Se q <–1 ou q > 1, isto é [pic 10] e a1[pic 11]0, S tende a [pic 12]ou [pic 13]. Neste caso é impossível calcular a soma S dos termos da P.G. 

3. Se –1< q < 1, isto é, [pic 14]e a1[pic 15]0, S converge para um valor finito. Assim a partir da Fórmula da soma dos n termos de uma P.G. , vem:

Quando n tende a  [pic 16], qn tende a zero, logo: 

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