Derivadas Implícitas e Paramétricas

                                        [pic 1]

Derivadas Implícitas e Paramétricas

Professor: Edson Arnaldo Mendes

São Paulo

2019

Nome: Davi Guimarães de Freitas RA: 918102536

Nome: Guilherme Franco de Godoi RA: 919113832

Nome: Keven Daniel dos Santos Natuba da Silva RA: 918203234

Nome: Lucas da Silva Sena RA: 918203234

Nome: Matheus Soares Batista da Silva RA: 918209233

Nome: Rafael da Silva Vieira RA: 318104252

Nome: Thiago Carvalho Freitas RA: 918203003

Nome: Tiago Pereira Matias Da Silva RA: 918202191

             

                                              São Paulo

2019

Derivadas Implícitas  

As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada. Um exemplo de função na forma implícita é a equação da circunferência [pic 2] . Deste modo, neste post apresenta-se como fazer a Derivação implícita de uma equação.

Até aqui estamos trabalhando com equações explícitas ou funções na forma explícita, em que f(x)=y estava isolada de um lado da equação

[pic 3] .

Entretanto, como realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?

[pic 4] .

A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:

[pic 5] .

 Pelas propriedades das derivadas a derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:

[pic 6] .

Para facilitar na explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se à equação original substituindo cada termo.

A primeira delas resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:

[pic 7] .

A segunda derivada tem-se uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtém-se:

[pic 8] .

A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:

[pic 9]  .

Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:

[pic 10] .

Por fim, a derivada do termo que está do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante

[pic 11] .

Concluído o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original  [pic 12] . Portanto, tem-se:

[pic 13] .

Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtém-se:

[pic 14] .

Exemplos:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18][pic 19]

[pic 20][pic 21]

[pic 22]

Derivadas Paramétricas

Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: r²= x²+y² , um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:

x = r cos t

y = r sen  t ,

1. Aplicações

As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como:

 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ),

a qual pode ser escrita também como:

r ( t ) = x ( t ) i → + y ( t ) j → + z ( t ) k →  

A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula:

r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) + y ′ ( t ) + z ′ ( t ) )

escrevendo na forma vetorial, obtemos:

r ′ ( t ) = x ′ ( t ) i → + y ′ ( t ) j → + z ′ ( t ) k →

Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:

r ″ ( t ) = ( x ″ ( t ) , y ″ ( t ) , z ″ ( t ) )

na forma vetorial, temos:

r ″ ( t ) = x ″ ( t ) i → + y ″ j → + z ″ k →

Além disso, as equações paramétricas são utilizadas na área da computação (CAD - Computer-aided design) e também são usadas para resolver problemas de geometria, uma clássica utilização é a parametrização euclidiana para triângulos retângulo.