A Matematica Aplicada

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O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma longa evolução histórica iniciada na antiguidade quando os matemáticos babilônios utilizavam tabelas de quadrados, de raízes quadradas e cubicas ou quando os pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas a mesma tensão com o seu comprimento.

O conceito de função não estava claramente definido nesta época, onde as relações entre variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Porem somente no século XVII, descartes e Pierre introduziram as coordenadas cartesianas e assim tornou-se possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar funções.

A matemática recebe assim um impulso quando os cientistas passam a procurar determinar a formula ou função que relaciona as variáveis.

Femat resolveu todas as dificuldades de uma maneira muito simples, através de muitos estudos estas ideias constituíram o conceito de derivadas.

Então podemos dizer que conceito de derivada está relacionado a taxa de variação instantânea de uma função. Por exemplo na determinação da taxa de crescimento de uma certa população, na taxa de crescimento econômico do país, na taxa de redução da mortalidade infantil, na taxa de variação de temperaturas, na velocidade de corpos ou objetos em movimento. Então a definição matemática da derivada de uma função em um ponto.

[pic 1]

A derivada se define em várias aplicações por exemplo:

Taxa de variação média, sabemos que as grandezas variam, sempre pensando na variação das grandezas como, por exemplo, o tempo gasto para chegar ao trabalho, a variação da temperatura num dia especifico, e assim por diante.

Quando uma grandeza y está expressa em uma função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que para uma variação de x ocorre, em correspondência uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação a variável independente em um ponto especifico.

Taxa de variação instantânea, tem os intervalos de comprimento “muito pequeno” o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que “muito pequeno” não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

Por exemplo como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante.

Vamos supor que a equação horária do movimento de um corpo é dado por s(t)= t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2.

Para achar a velocidade, sendo s(t)=t2+5 examinamos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo (2,2+dt), com Dt > 0 ou Dt < 0.

Assim temos:

DS= 5(2+Dt) - 5(2) = [(2+Dt) 2+5] - [4+5] = 4.Dt+Dt2 = Dt (4+Dt)

E assim:

[pic 2]

• Dada y=F(x) para calcularmos a taxa de variação instantânea de f no ponto x0, se considerarmos o acréscimo Dx > 0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos escrevemos      x       0 mas se considerarmos Dx < 0, fazemos se aproximar de 0 por valores negativos e escrevemos      x      0.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente     x      0, estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos.[pic 7][pic 8]

Tabela 1:

Quantidade “x” do produto B a ser produzido	0	10	20	30	40	50	60
C(x)=x² - 40x + 700 custo para produzir q unidades do produto B	700	400	300	400	700	1200	1900