A aplicação de sistemas de equações lineares

Etapa 3

Passo 1

Caso real de aplicação de sistema de equações lineares

A seguir há demonstração de um caso de aplicabilidade de Sistemas de Equações Lineares contextualizando com a aquisição de terrenos na cidade de Pindamonhangaba, SP. Para fazer esta aplicação na prática buscou junto a uma imobiliária, nesta cidade, dados que pudessem contribuir para o desenvolvimento desta demonstração.

Utilizou-se um exemplo aplicado ao setor imobiliário na cidade de Pindamonhangaba.

Através da aquisição de um terreno em determinado bairro da cidade com pagamento parcelado por um período de 72 meses ou seis anos, observou que conforme o contrato da imobiliária consultada, o reajuste se fez uma vez por ano acrescentando ao valor inicial o IGP-M (Índice de Preço de Mercado ) e assim sucessivamente até a quitação. É necessário lembrar que o IGP-M é acumulativo, ou seja, ele é acrescentado sempre sobre o último reajuste. Sendo assim um terreno comprado neste plano teve alteração de preço cinco vezes, ou seja, um reajuste por ano a partir do segundo ano, já que o valor do primeiro ano é fixado pela imobiliária.

Para aplicar a Regra de Cramer foi dado nomes a esses dados obtidos. Portanto o número de meses pago no decorrer do plano foi representado por x, o valor das parcelas foi representado por y e o valor aproximado do IGP-M foi representado por z. O, o valor do IGP-M está aproximado porque oscilou segundo a inflação do país, sofrendo variações dentro do ano esses valores são aproximações de reajustes que o IGP-M poderá sofrer.

Com essas três incógnitas aplicou-se a fórmula para encontrar primeiramente o valor do determinante e logo após encontrou-se o valor de cada incógnita respectivamente.

Para começar o desenvolvimento do Sistema de Equações Lineares têm as seguintes informações: o número de meses representado por x, o valor para y era R$ 79,90 (setenta e nove reais e noventa centavos) e o valor do IGP-M, representado pela letra z, que estava zerado no primeiro ano, pois o IGP-M só fora cobrado a partir do segundo ano e o valor total pago no ano. Aqui esta demonstrando os 3 primeiros anos.

Resolução

1º etapa: calculando o determinante D:

2º etapa: o valor das incógnitas é o resultado de cada coeficiente pelo determinante D:

3º etapa: substituindo o valor das incógnitas nas equações verificou-se que esses resultados satisfizeram todas as equações.

A diferença encontrada é relevante tendo em vista que para calcular o determinante das equações foi necessário utilizar o IGP-M, pois como mencionado anteriormente esses valores possivelmente sofrerão alterações decorrentes da inflação do país.

Para os valores na primeira equação tem-se:

A segunda equação que representa o segundo ano de pagamento o resultado final é:

Na terceira equação que representa o terceiro ano de pagamento tem-se como resultado final:

Para saber quanto o cliente pagará nos três últimos anos foi necessário calcular o determinante

do Sistema de Equações Lineares para substituir nas equações como fora feito no sistema anterior.

1º etapa: calculando o determinante D:

2º etapa: o valor das incógnitas é o resultado de cada coeficiente pelo determinante D:

Então para o quarto ano o valor total pago foi:

No quinto ano obteve o seguinte resultado:

Para o último ano o valor encontrado foi:

Ao somar o resultado de cada equação, encontrará o valor a ser pago, aproximadamente pelo cliente. Se comparar este valor obtido através da Regra de Cramer e com o valor fornecido pela imobiliária, notará a diferença de R$ 1,65 (um real e sessenta e cinco centavos) diferença esta devido a oscilação do IGP-M como mencionado anteriormente.

Valor final obtido através da Regra de Cramer

Valor final fornecido pela imobiliária

A diferença entre os dois é de:

O valor real que o cliente pagará no final do plano será de R$ 6500,52 (seis mil quinhentos reais e cinquenta e dois centavos), já o valor encontrado pela Regra de Cramer foi de R$ 6498,87 (seis mil quatrocentos e noventa e oito reais e oitenta e sete centavos).

Passo 2

Solução numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Considerar um circuito elétrico representado por:

Onde, i1 , i2 e i3 são correntes e z1 = 10, z2 = 8, e z3 = 3, as impedâncias pela quais as correntes passam.

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I - o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

II – a

matriz inversa de A, denotada por A-1= ;

III – o sistema é possível e determinado ( sistema compatível ) e a solução é dada por:

i1 = 9,79; i2 =4,11; i3 =-13,9.

Respostas para as afirmações.

I – o determinante da matriz A é 118, segundo o calculo demonstrado abaixo:

=

64 - 0 + 30 + 24 + 0 + 0 = 118

Det= 118

Portanto a afirmativa I esta certa .

II- a matriz inversa de A não é