Matematica

                                                   Trabalho de matemática

NOME: EVERTON FILHO

SALA: 1 B

NÚMERO: 31

DATA: 06/11/2015

                                       

                                                      POGRESSÃO ARITMÉTICA

Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

a_n = a_{n-1} + r(n \geq 2)

A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2

a2 = 2+5 = 7

a3 = 7 +5 = 12

a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.

Se r = 0, então a PA é constante.

Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PA

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a_n = a_{n-1} + r = a_1 + (n-1)r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

an = a1+(n-1)r

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}\text{ , } (k \geq 2)

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

a_5 = \frac{a_4 + a_6}{2}

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

\text{a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n}

a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = a_4 + a_{n-3} = ... = a_1 + a_n

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24

5+19 = 1+23 = 24

7+17 = 1+23 = 24

9+15 = 1+23 = 24

11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2} = \frac{1 + 19}{2} = 10

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula:

S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}

                                                           PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:  

a1          a2        a3        ...        a20        ...        an        ...

a1        a1xq        a1xq2        ...          a1xq19                 a1xqn-1          ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8