OS SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES

1. OBJETIVOS

O objetivo desse experimento é compreender a importância da análise de sistemas dinâmicos e aprender as diversas formas de simular um sistema.

1. INTRODUÇÃO TEÓRICA

1. SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES

O estudo de sistemas dinâmicos envolve a modelagem matemática, a análise e a simulação de sistemas físicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos e térmicos.

Qualquer representação de sistema dinâmico dada por uma ou mais equações diferenciais (ou a diferenças) de qualquer ordem pode ser expressa na forma de um sistema de equações diferenciais (ou a diferenças) de primeira ordem. O número de equações será igual à soma das ordens das equações originais.

Embora a representação por espaço de estados não seja única, ela sempre assume a forma:

[pic 1]         para o caso de dinâmica de tempo contínuo.

[pic 2]para o caso de dinâmica de tempo discreto.

Nos casos contínuo e discreto, a primeira equação é chamada de equação de estado e a segunda recebe a denominação de equação de saída.

1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 1A. ORDEM HOMOGÊNEA

A equação diferencial homogênea mais simples tem a forma

X’ = λx,            x(0) = x0 (1)

 onde x = x(t) é uma função real da variável real t (associada nos exemplos anteriores ao tempo) a ser determinada e λ é uma constante real dada. Supõe-se que a condição inicial ou valor de x no instante t = 0, x(0) = x0 é conhecida. A solução única da equação é dada por

x(t) = exp(λt)x0 (2)

O comportamento qualitativo da solução x(t) é mostrado na Fig. 1, em função do sinal da constante real λ. Note que

1. Se λ > 0 então limite t→∞ | x(t) |= ∞ é divergente, e diz-se neste caso que o sistema descrito pela equação diferencial é instável;

2. Se λ = 0 então x(t) = x0, t ≥ 0 e o sistema é estável;

3. Se λ < 0 então limite t→∞ x(t) = 0 e o sistema é assintoticamente estável.

[pic 3]

Figura 1: (a) Sistema Instável (λ > 0); (b) Sistema Estável (λ = 0); (c) Sistema Assintoticamente Estável (λ < 0).

1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 2A. ORDEM HOMOGÊNEA

Uma equação diferencial linear de 2a. ordem homogênea envolve a derivada de 2a. ordem da variável dependente e pode ser representada genericamente como

X’’+a’+bx = 0,               x(0) = x0; ˙x(0) = Dx0 (3)

Devido à semelhança desta equação com a equação de 1a. ordem apresentada na seção anterior, supõe-se que a solução é do mesmo tipo, ou seja,

x(t) = exp(λt) (4)

Substituindo esta solução na equação (3), obtém-se

X’ = λexp(λt) (5)

 X’’= λ2 exp(λt) (6)

X’’ + ax’+bx = (λ2 +aλ+b) exp(λt) = 0 (7)

Dado que a função exp(λt) nunca se anula, uma condição necessária para que (4) seja solução será

λ2 +aλ+b = 0 (8)

Esta equação algébrica é chamada de Equação Característica da equação diferencial (3) e possui em geral duas raízes distintas, λ1 e λ2. Portanto, as funções

exp(λ1t) e exp(λ2t) (9)

Satisfazem a equação (3) a menos das condições iniciais. Por outro lado, se f1(t) e f2(t) satisfazem a equação (3), é fácil verificar que o mesmo ocorre com f(t) = k1 f1(t)+k2 f2(t), bastando para tanto que se substitua f(t) em (3). Deste modo, uma solução para a equação (3) é

x(t) = k1 exp(λ1t) +k2 exp(λ2t) (10)

onde λ1 e λ2 são as raízes da equação (8). O tipo de solução da equação diferencial dependerá da natureza destas raízes.

1. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Função de transferência é a representação matemática da relação entre a entrada e a saída de um sistema. A função de transferência normalmente empregada na análise de circuitos eletrônicos analógicos de entrada única e saída única, por exemplo.

1. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL

O experimento 1 foi dividido em duas aulas, na primeira vimos a parte 1 do experimento, MATLAB, e na parte 2 vimos como funciona o simulink.

1. PARTE 1

Foi passado um material de estudos para aprendermos a usar o programa e uma série de exercícios para fixar o conteúdo. Foram passados três exercícios para ser feito no relatório.

3.2 PARTE 2

Foi passado um material de estudos para aprendermos a usar o programa e uma série de exercícios para fixar o conteúdo. Foram passados três exercícios para ser feito no relatório.

1. RESULTADOS

1. PARTE 1

1%% Laboratorio de ADL - Relatorio para Experimento 1a

1. %  Professor: Renato Alves Borges
2. %  Turma: D2    1/2017
3. clear
4. clc
6. % Exercicio 1:
7. % Resolver o sistema A*X = B
8. A = [1 1 2; 2 4 -3; 3 6 -5]
9. B = [9; 1; 0]
10. X = inv(A)*B
12. % Exercicio 2:
13. % a) Obter a funcao de transferencia do Circuito dado
14. clear
16. % Declarando variaveis:
17. syms s t R1 L1 R2 L2 L3 V Vl I1 I2 I3;
19. % Por meio da Lei das Tensoes de Kirchhoff, tem-se que:
20. A = [R1+s*L1 -R1 -s*L1;...
21.      -R1 R2+R1+s*L2 -R2;...
22.      -s*L1 -R2 R2+s*L1+s*L3];
24. % %Expressar agora o sistema na forma matricial Ax=B, tal que:
25. % B = [V;0;0];
26. % x = [I1;I2;I3];
27. %
28. % %Resolvendo-o:
29. % [I1, I2, I3] = solve(A*x==B)
31. % Outro método seria:
32. % I3 = det(B)/det(A) [Regra de Cramer];
33. % sendo B a matriz a seguir:
34. B = [R1+s*L1 -R1 V;...
35.     -R1 R2+R1+s*L2 0;...
36.     -s*L1 -R2 0;];
38. I3 = det(B)/det(A);
39. I3 = simplify(I3)
41. % Por Lei de Ohm:
42. Vl = s*L3*I3
44. H = Vl/V   % função de transferência
45. H = collect(H)
46. pretty(H)
48. % b) Avaliar a função de transferência obtida no item (a) para 2 casos:
49. % 1o Caso: R1=R2=L1=L2=L3=1
50. H1 = subs(H,[R1,R2,L1,L2,L3],[1,1,1,1,1]);
51. [N,D] = numden(H1);
52. N = sym2poly(N); D = sym2poly(D);
53. H1 = tf(N,D)
55. % 2o Caso: R1=6,R2=1,L1=7,L2=5,L3=1
56. H2 = subs(H,[R1,R2,L1,L2,L3],[6,1,7,5,1]);
57. [N,D] = numden(H2);
58. N = sym2poly(N); D = sym2poly(D);
59. H2 = tf(N,D)
61. % Exercicio 3: Função do Circuito RLC em série
63. function [dy] = RLC(t,y)
65. % Definindo os parâmetros do Circuito
66. V = 1;
67. R = 6;
68. L = 1;
69. C = 0.04;
71. % Montando a EDO
72. dy = zeros(2,1);
73. dy(1) = y(2);
74. dy(2) = (V/(L*C)) - (R/L)*y(2) - (1/(L*C))*y(1);
76. % pode-se fazer também usando:
77. % dy = [y(2); 25 - 6*y(2) - 25*y(1)];
79. end
80. %————————————————————————————————————————————————————%
81. %% Simulação e solução da eq. de RLC em série
83. % Definindo a largura de passada (dt) e o range de analise (ti a tf):
84. ti = 0;
85. dt = 0.001;
86. tf = 10;
88. % Definindo Condi??es Iniciais:
89. y0 = [0; 0];
91. edo = @(t,y) RLC(t,y);
93. [t,y] = ode45(edo, ti:dt:tf, y0)
94. plot (t, y(:,1))

1. PARTE 2

Exercício 1:

[pic 4]

a) [pic 5]

b) [pic 6]

Exercício 2:

[pic 7]

[pic 8]

Exercício 3:

[pic 9]