Elementos básicos de matemática financeira

Elementos básicos em Matemática Financeira

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.

Regime Processo de funcionamento

Simples Somente o principal rende juros.

Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.

Notações comuns que serão utilizadas neste material

C Capital

n número de períodos

j juros simples decorridos n períodos

J juros compostos decorridos n períodos

r taxa percentual de juros

i taxa unitária de juros (i = r / 100)

P Principal ou valor atual

M Montante de capitalização simples

S Montante de capitalização composta

Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades.

Exemplo: Na fórmula

F(i,n) = 1 + i n

a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.

Juros simples

Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:

j = P r n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:

j = P r m / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula:

j = P r d / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:

j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:

j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simples

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo

n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

Período Número de dias

De 10/01 até 31/01 21 dias

De 01/02 até 28/02 28 dias

De 01/03 até 31/03 31 dias

De 01/04 até 12/04 12 dias

Total 92 dias

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

Fluxo de caixa

Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, poderá acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso.

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