Logaritmos e logaritmo natural

Logaritmos e Logaritmo Natural

Logaritmos

Definição: dado um número a, positivo e diferente de l, e um número c positivo; o expoente x que se eleva na base a resultando no número c é cha¬mado de logaritmo de c na base a:

loga c = x <=> ax = c

(Com a>0, a1 e c>0)

Chamamos a de base; c de logaritmando ou antilogaritmo e x de loga¬ritmo.

De acordo com a definição, podemos escrever, por exemplo:

log2 8 = 3 pois 23 = 8

Iog5 25 = 2 pois 52 = 25

No primeiro exemplo, 2 é a base; 8 é o logaritmando ou antilogaritmo e 3 é o logaritmo. No segundo exemplo, 5 é a base; 25 é o logaritmando ou antilogaritmo e 2 é o logaritmo.

Notamos que, respeitadas as condições de existência, podemos escrever logaritmos em diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos mate¬máticos e no estudo de fenômenos naturais são a base 10 e a base e, onde e é um número irracional e seu valor aproximado é e = 2,71828.

Quando se trabalha na base 10, denotamos log10 c = x ou simplesmente por log c = x. Por exemplo, temos log 1.000 = 3, pois 103 = 1.000.

De modo análogo à base 10, ao trabalhar na base e denotamos loge c = x ou simplesmente por ln c = x. Em outras palavras, os símbolos loge e ln são equivalentes.

Por exemplo, temos ln 51  3,931826, pois e3,931826  51

Considerando e = 2,71828, podemos reescrever a linha anterior como

ln 51  loge 51 = log2,71828 51 = 3,931826, pois 2,718283,931826  51

Enfatizamos o logaritmo escrito na base e, também conhecido como logarítmo natural, pois tal base é comum em muitos fenômenos naturais, bem como em várias aplicações nas áreas de administração e economia. As calculadoras científicas possuem as teclas log e ln que calculam o valor do logaritmo nessas bases. As calculadoras financeiras possuem pelo menos a tecla ln, que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos priorizando essa notação para o desenvolvimento das propriedades e dos problemas mais adiante.

Nesse sentido, por exemplo, se em sua calculadora você digitar 200 e acionar a tecla ln, o resultado obtido será 5,2983173666, o que indica simplesmente que:

ln 200 = log2,71828 200 = 5,2983173666, pois 2,718285,2983173666 = 200.

Notamos ainda que o número e = 2,7182818285 é obtido pelo cálculo do limite

Nessa expressão, o símbolo x   é lido como "x tende ao infinito", e por ora consideraremos apenas o seu significado como: a variável x assumindo valores cada vez maiores na expressão (1 + 1/x)x . Realizando algumas contas, podemos obter alguns valores aproximados para o número e, conforme a tabela a seguir:

Tabela 4.6 Aproximações para o número e

x 1 10 100 1.000 1.000.000

(1 + 1/x)x 2 2,59374246 2,70481383