SEGUNDO CASO-PROBLEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA E PRODUÇÃO

SEGUNDO CASO-PROBLEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA E PRODUÇÃO

Um engenheiro pretende realizar um estudo do comportamento mecânico dos materiais. Para isso, representou o fenômeno pelo seguinte polinômio:

s(x) = 2.02x5 −1.28x4 + 3.06x3 −2.92x2 −5.66x + 6.08

onde, s(x) é o comprimento da fissura e x (> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação. Pretende, com isso, determinar para que valores do número de ciclos de propagação a velocidade é nula (v=0).

Como o engenheiro poderia resolver este problema?

1. FUNÇÃO MATEMÁTICA UTILIZADA PARA RESOLVER O PROBLEMA:

Para determinar o polinômio da velocidade de propagação foi feita a derivação do polinômio de espaço que é o comprimento da fissura s(x):

 V(x) = 10,1x4  -  5,12x3 + 9,18x² - 5,84x – 5,66

Para determinar o valor da incógnita x basta calcular o valor da raiz do polinômio da velocidade, ou seja, onde v(x) é nula.

1. DETERMINAÇÃO DO INTERVALO QUE CONTEM A RAIZ DO POLINOMIO v(X):

O intervalo que contem a raiz foi determinado por tentativa e erro de x em função de V(x) no intervalo de números reais [0,9; 1,0] (tabela 1) com ajuda de gráfico (figura 1) (Franco, 2006; Ruggiero, 1996).

        Gráfico 1:

             [pic 1]

Tabela 1: Relação de valores para determinação do intervalo que contém a raiz de V(x)
x	V(x)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1	-6,15631 -6,4856 -6,64223 -6,59632 -6,29375 -5,65616 -4,58095 -2,94128 -0,58607 2,66

Pelo teorema de Bolzano, o intervalo que contém a raiz foi determinado como [0,9; 1,0].

1. CALCULO DA RAIZ PELO METODO DA BISSECÇÃO, SECANTE/CORDA, NEWTON-RAPHSON:

O cálculo da raiz levou em consideração a precisão de € = 10 -4 como critério de parada do processo de iteração (repetição). A tabela 2 mostra os valores da raiz da função (1) de acordo com os critérios de parada (Franco, 2006; Ruggiero, 1996).

Tabela 2: número de iterações, valor do critério de parada, valor da raiz da função e valor da função para a raiz.
Método de determinação da raiz	Valor da Raiz (Xk)	P(Xk)	Valor do Erro Relativo	Número de Iterações
Bissecção Secante/Cordas  Newton-Raphson	0,92046 0,92048 0,92047	-0,00061 -0,00011 0,000002	5,3048E-05 3,1649E-05 2,8760E-06	11 4 4

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