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SEGUNDO CASO-PROBLEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA E PRODUÇÃO

Por:   •  7/6/2017  •  Resenha  •  476 Palavras (2 Páginas)  •  713 Visualizações

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SEGUNDO CASO-PROBLEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA E PRODUÇÃO

Um engenheiro pretende realizar um estudo do comportamento mecânico dos materiais. Para isso, representou o fenômeno pelo seguinte polinômio:

s(x) = 2.02x5 −1.28x4 + 3.06x3 −2.92x2 −5.66x + 6.08

onde, s(x) é o comprimento da fissura e x (> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação. Pretende, com isso, determinar para que valores do número de ciclos de propagação a velocidade é nula (v=0).

Como o engenheiro poderia resolver este problema?

  1. FUNÇÃO MATEMÁTICA UTILIZADA PARA RESOLVER O PROBLEMA:

Para determinar o polinômio da velocidade de propagação foi feita a derivação do polinômio de espaço que é o comprimento da fissura s(x):

 V(x) = 10,1x4  -  5,12x3 + 9,18x² - 5,84x – 5,66

Para determinar o valor da incógnita x basta calcular o valor da raiz do polinômio da velocidade, ou seja, onde v(x) é nula.

  1. DETERMINAÇÃO DO INTERVALO QUE CONTEM A RAIZ DO POLINOMIO v(X):

O intervalo que contem a raiz foi determinado por tentativa e erro de x em função de V(x) no intervalo de números reais [0,9; 1,0] (tabela 1) com ajuda de gráfico (figura 1) (Franco, 2006; Ruggiero, 1996).

        Gráfico 1:

             [pic 1]

Tabela 1: Relação de valores para determinação do intervalo que contém a raiz de V(x)

x

V(x)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-6,15631

-6,4856

-6,64223

-6,59632

-6,29375

-5,65616

-4,58095

-2,94128

-0,58607

2,66

Pelo teorema de Bolzano, o intervalo que contém a raiz foi determinado como [0,9; 1,0].

  1. CALCULO DA RAIZ PELO METODO DA BISSECÇÃO, SECANTE/CORDA, NEWTON-RAPHSON:

O cálculo da raiz levou em consideração a precisão de € = 10 -4 como critério de parada do processo de iteração (repetição). A tabela 2 mostra os valores da raiz da função (1) de acordo com os critérios de parada (Franco, 2006; Ruggiero, 1996).

Tabela 2: número de iterações, valor do critério de parada, valor da raiz da função e valor da função para a raiz.

Método de determinação da raiz

Valor da Raiz (Xk)

P(Xk)

Valor do Erro Relativo

Número de Iterações

Bissecção

Secante/Cordas

 Newton-Raphson

0,92046

0,92048

0,92047

-0,00061

-0,00011

0,000002

5,3048E-05

3,1649E-05

2,8760E-06

11

4

4

...

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