Esperança Matematica

CAPÍTULO 5

Exercícios Resolvidos

R5.1) Casais com no máximo 2 filhos

Consideremos o conjunto dos casais que têm no máximo dois filhos. Admitamos que dentro desse contexto, cada uma das possibilidades em termos do número de filhos, a saber, 0 filhos, 1 filho e 2 filhos têm a mesma probabilidade, ou seja, 1/3 para cada uma delas.

Admitamos também que as probabilidades de nascimento de homens e de mulheres são iguais.

Assim sendo, entre os que têm apenas 1 filho (o que ocorre com probabilidade 1/3), temos metade para cada sexo, isto é, 1/6 para 1 filho homem e 1/6 para uma filha mulher.

Analogamente, entre os que têm 2 filhos (o que também ocorre com probabilidade 1/3), de novo cada uma das 4 possibilidades de combinações dos sexos tem a mesma chance: 2 homens tem probabilidade 1/12, 2 mulheres tem probabilidade 1/12, 1 homem e 1 mulher tem probabilidade 1/6.

Sejam X e Y, respectivamente, o número de filhos homens e o número de filhas mulheres de um casal escolhido ao acaso.

(a) Qual a distribuição de probabilidade de X? E de Y?

(b) Calcule E(X), Var(X), E(Y) e Var(Y).

(c) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Por que?

(d) Calcule E(X + Y) e Var(X + Y).

(e) Calcule Cov(X,Y).

(f) Verifique, neste caso, a validade das expressões E(X + Y) = E(X) + E(Y) e Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y).

Solução:

(a) X e Y têm ambos a mesma distribuição de probabilidade. X (resp, Y) pode ser 0, 1 ou 2, com probabilidades 7/12, 4/12 e 1/12, respectivamente. Por que?

(b) E(X) = E(Y) = 0x7/12+1x4/12+2x1/12 = 1/2 e

Var(X) = Var(Y) = 02x7/12+12x4/12+22x1/12 – (1/2)2 = 5/12.

(c) X e Y não são mais variáveis aleatórias independentes. Por que? Por exemplo, porque P(X=0, Y=0) = 1/3 ≠ 49/144 = (7/12)x(7/12) = P(X=0).P(Y=0).

(d) X + Y é o número total de filhos (de ambos os sexos) de um casal selecionado ao acaso. Já vimos que, por construção, X + Y pode assumir cada um dos valores 0, 1 ou 2 com probabilidade 1/3. Então

E(X + Y) = 0x1/3+1x1/3+2x1/3 = 1 e

Var(X + Y) = 02x1/3+12x1/3+22x1/3 – 12 = 2/3.

(e) A variável XY só pode assumir os valores 0 e 1, com probabilidades 5/6 e 1/6, respectivamente. (Por que?)

Daí, E(XY) = 0x5/6+1x1/6 = 1/6.

Pela propriedade (f), temos

Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 1/6 – (1/2).(1/2) = – 1/12.

Finalmente,

(f) E(X) + E(Y) = ½ + ½ = 1 = E(X+Y)

Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) = 5/12 + 5/12 + 2 x (-1/12) = 2/3 = Var(X + Y)

conforme prevê a propriedade (e).

R5.2) Multiplicação de partículas

Um certo tipo de partícula se divide em 0, 1 ou 2 novas partículas (que serão chamadas

suas descendentes) com probabilidades 30%, 40% e 30%, respectivamente, e depois se

desintegra. As partículas individuais agem independentemente entre si. Dada uma

partícula, seja X1 o número dos seus descendentes e seja X2 o número de

descendentes dos seus descendentes.

Calcule:

(a) P(X2 = 0)

(b) P(X1 = 1X2 = 2)

Solução:

Temos P(X1 = 0) = 0,3 P(X1 = 1) = 0,4 P(X1 = 2) = 0,3

P(X2 = 0X1 = 0) = 1

P(X2 = 0X1 = 1) = 0,3

P(X2 = 1X1 = 1) = 0,4

P(X2 = 2X1 = 1) = 0,3

P(X2 = 0X1 = 2) = 0,3  0,3 = 0,09

P(X2 = 1X1 = 2) = 0,3  0,4 + 0,4  0,3 = 0,24

P(X2 = 2X1 = 2) = 0,3  0,3 + 0,4  0,4 + 0,3  0,3 = 0,34

P(X2 = 3X1 = 2) = 0,3  0,4 + 0,4  0,3 = 0,24

P(X2 = 4X1 = 2) = 0,3  0,3 = 0,09

(a) P(X  0)  2

P(X 0X 0) P(X 0) P(X 0X 1) P(X 1) P(X 0X 2) P(X 2) 2 1 1 2 1 1 2 1 1               

10,3 0,30,4  0,090,3  0,447 .

(b) P(X 1X  2)  1 2

P(X 2X 0) P(X 0) P(X 2X 1) P(X 1) P(X 2X 2) P(X 2)

P(X 2X 1) P(X 1)

2 1 1 2 1 1 2 1 1

2 1 1

             

   



0,5405

0,222

0,12

0 0,3 0,3 0,4 0,34 0,3

0,3 0,4

 

    



 .

R5.3) Distribuição uniforme em uma região do plano

Dizemos que uma v.a bidimensional (X,Y) tem distribuição uniforme em uma região

R do plano real se sua função de densidade conjunta é

f(x,y) =

, (x,y) ∈ R

= 0 , caso contrário

Seja R a região do plano limitada pela curva y = x2, o eixo dos y e a reta y =1 (ver Figura a seguir).

A região do plano onde (X,Y) está definido

Se (X,Y) é uniforme em R, determine:

(a)