Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.1 2

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Sobre a trigonometria[editar | editar código-fonte]

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo A são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a A e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de A. Este número é chamado de seno3 de A e é escrito como \operatorname{sen}(A). Similarmente, pode-se definir :

o cosseno (ou co-seno) de A: é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo A em relação ao comprimento da hipotenusa

a tangente trigonométrica de A: é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo A em relação ao comprimento do cateto adjacente

a co-tangente de A: é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo A em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente

a secante trigonométrica de A: é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo A - é o inverso do cosseno

a co-secante de A: é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo A - é o inverso do seno.

Círculo Trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico, com a posição das funções seno, cosseno, tangente e cotangente explicitadas.

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.

Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Seno

Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Como o cosseno é esta projeção, e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que, \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1, ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado [-1,1].

Tangente[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente