A GEOMETRIA ESPACIAL

COLÉGIO ESTADUAL ALFREDO DUTRA
PROF. FABRÍCO


















                   GEOMETRIA ESPACIAL
                                                       Trabalho apresentado pela aluna
                                              _____________ da  3ª  Serie do Ensino
                                          médio para a displina de Geometria.

























Itapetinga
2011

Geometria Espacial



Prismas

       Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, [pic 1], um polígono convexo R contido em [pic 2]e uma reta r que intercepta [pic 3], mas não R:

[pic 4]

      Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento [pic 5], paralelo à reta r [pic 6]:

[pic 7]

      Assim, temos:

[pic 8]

      Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes [pic 9]paralelos a r.

Elementos do prisma

      Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

[pic 10]

• bases:as regiões poligonais R e S 
• altura:a distância h entre os planos [pic 11]
• arestas das bases:os lados [pic 12]( dos polígonos) 
• arestas laterais:os segmentos [pic 13]
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A 

Classificação

      Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; 
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. 

Veja:

[pic 14] prisma reto	[pic 15] prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
[pic 16] prisma regular triangular	[pic 17] prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

      Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

        Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

[pic 18]

[pic 19]

 

Áreas

      Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases

AT = AL + 2AB 

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]     

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo [pic 23]

b) paralelepípedo reto [pic 24]

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

      Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

[pic 25]

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

 

Diagonais da base e do paralelepípedo

      Considere a figura a seguir:

[pic 26]

db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo

      Na base ABFE, temos:

[pic 27]

[pic 28]

         No triângulo AFD, temos:

[pic 29]

[pic 30]

Área lateral

      Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

[pic 31]

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)

   
Área total

      Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

[pic 32]

AT= 2( ab + ac + bc)