EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERENCIA

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 2)² + (y + 9)² = 6²

(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x – 2)² + (y – 1)² = 1

x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0

x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-reduzida-circunferencia.htm

Equação geral da circunferência

Compasso, objeto usado para construção de circunferências

No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os pontos do centro da circunferência estão explicitados. Caso você não se lembre da equação reduzida da circunferência, leia o artigo Equação Reduzida da Circunferência .

Entretanto, poderemos ter equações do segundo grau com duas incógnitas que podem representar a equação de uma circunferência. Para isso, desenvolveremos os quadrados da equação reduzida.

Como dito anteriormente, podemos retirar as informações necessárias (coordenadas do centro da circunferência e o raio) para a construção da circunferência de forma direta. Desse modo, (xc,yc) é o centro da circunferência e r é o raio.

Desenvolvendo os quadrados.

Essa expressão é denominada equação geral da circunferência.

Exemplo:

Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1,1) e raio 4.

De fato, a expressão geral da circunferência não deve ser decorada, afinal é possível obter essa expressão partindo da equação reduzida, sendo que esta é mais fácil de ser expressa.

É possível pensar de uma forma inversa, quando se conhece uma equação geral da circunferência e procura-se obter a equação reduzida, partindo desta equação geral.

Para que se possa reduzir a equação geral da reta, os quadrados devem ser completados, obtendo trinômio quadrado perfeito que fatorados resultam em quadrados da soma ou da diferença de dois termos.

Um destes termos corresponde ao valor x ou y, e o outro à coordenada do centro da circunferência.

Exemplo:

Encontre a forma reduzida da seguinte equação.

Primeiramente devemos agrupar os termos de mesma incógnita.

Agora, para cada termo x e y, completaremos quadrados para obtermos os trinômios.

Os trinômios destacados são trinômios quadrados perfeitos. Bem sabemos que existe uma forma fatorada para estes trinômios.

Para obtermos a forma reduzida por completo, basta isolarmos o termo independente e obtermos o quadrado que resulta neste termo.

Com isso, temos que a equação dada representa uma circunferência de raio r=4 e centro C(2,1).

http://www.alunosonline.com.br/matematica/equacao-geral-circunferencia.html

Posições relativas entre um ponto e uma circunferência

Matemática

A geometria analítica relaciona os conceitos geométricos e os conceitos algébricos, ou seja, elementos geométricos passam a ser definidos por expressões algébricas. Portanto, faremos uma análise da distância entre um ponto e o centro de uma circunferência para verificar as posições relativas desse p

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Quanto à circunferência, sabe-se que todos os pontos dela distam igualmente do centro, essa distância igual é denominada de raio. Em comparação com esse raio, ou seja, com os elementos que pertencem à circunferência, podemos ter 3 posições a serem estudadas entre um ponto e uma circunferência.

Para estudar