PROBABILIDADE BINOMIAL PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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PROBABILIDADE BINOMIAL

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Prof. M.e Nabor Alves Monteiro

SUMÁRIO

13.1 Distribuição de Probabilidades 2

13.2 Distribuições Discretas 3

13.3 Distribuição Binomial 3

13.4 Cálculo da Probabilidade Binomial 6

2 PROBABILDADE E ESTATÍSTICA

Objetivo da aula

▪▪ Apresentar o cálculo de probabilidade em

situações nas quais os resultados de uma variável

aleatória podem ser agrupados em duas classes ou

categorias.

13.1 Distribuição de Probabilidades

Distribuição de probabilidades é uma organização de frequências para os resultados de um

espaço amostral, isto é, para os resultados de uma variável aleatória. As frequências são relativas ou

probabilidades. Exemplo: consideremos a variável aleatória número de coroas (K) em duas jogadas de

uma moeda:

Nos resultados acima temos 0 (zero) para CC (duas caras e nenhuma coroa) 1 para CK (uma cara

e uma coroa) e assim por diante. Graficamente temos:

Do ponto de vista prático, em geral não é necessário calcular as probabilidades individuais para

obter uma distribuição de probabilidades, já que existem tabelas e fórmulas para isso. Há uma variedade

de tipos de distribuição de probabilidades na estatística, sendo que cada qual tem seu próprio conjunto

Resultado CC CK

1 1 2

KC KK

0

0,25 0,25 0,25 0,25 = 1,00

Valor da v.a.

P (X)

0,50

1,00

0,75

0,50

0,25

0 1 2 Número de coroas

Probabilidade

PROBABILIDADE BINOMIAL 3

de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição pode ser

13.2 Distribuições Discretas

Denominamos distribuição discreta o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos,

com as respectivas probabilidades, por uma variável aleatória discreta, ou seja, envolvem variáveis

aleatórias relativas a dados que podem ser contados, tais como o número de ocorrências por amostra.

São exemplos de distribuição discreta: a Bernoulli /binomial, a de Poisson, etc.

13.3 Distribuição Binomial

Usa-se o termo “binomial” para designar situações em que os resultados de uma variável aleatória

podem ser agrupados em duas classes ou categorias, como: par ou ímpar, cara ou coroa, preto ou

branco, etc. Os dados são, pois, nominais. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo

a deixar perfeitamente claro a qual delas pertence determinada observação. Variáveis com resultados

múltiplos podem frequentemente ser tratadas como binomiais, mas apenas quando um dos resultados

é o que interessa. Assim, é possível que as respostas de um teste de múltipla escolha sejam do tipo

correta ou incorreta ou um problema do tipo: “Há 5 bolas, uma de cada cor, em uma urna. Na extração

de uma bola...”, tenha como resultado respostas do tipo “verde” ou “não verde”.

A utilização da distribuição binomial exige certos pressupostos:

• Há n observações ou provas idênticas;

• Cada prova tem dois resultados possíveis, um chamado “sucesso” e outro “fracasso”;

• As probabilidades p, de sucesso, e 1 – p, de fracasso, permanecem constantes em todas as

provas;

• Os resultados das provas são independentes uns dos outros.

Fórmula Binomial

Vamos examinar o seguinte problema: quais os resultados possíveis quando se joga 2 moedas

honestas 1 vez ou 1 moeda 2 vezes?

Os resultados podem ser dispostos em coluna, conforme abaixo:

Vamos examinar agora os resultados possíveis para quando se joga uma moeda honesta 3 vezes:

Moeda 1

C

C K

CK

KK

CC

K KC

Moeda 2

4 PROBABILDADE E ESTATÍSTICA

Moeda 3

Moedas 1 e 2

CC CK KC KK

C CCC CCK CKC CKK

K KCC KCK KKC KKK

Graficamente:

Ou seja, a função de probabilidade para 3 jogadas de uma moeda é:

Na tabela acima, f(0) = 1/8 representa a probabilidade de não ocorrerem caras nas 3 jogadas; f(1)

= 3/8 representa a probabilidade de ocorrer 1 cara em 3 jogadas e assim sucessivamente.