Posições Relativas Entre Circunferências

Posições Relativas Entre Circunferências

• Não possuem ponto em comum (disjuntas)

Externas: Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.

[pic 1]

D > r1 + r2

Internas: Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

[pic 2]

D < r1 – r2

• Possuem um ponto em comum (tangentes)

Tangentes externas: Duas circunferências são tangentes externas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

[pic 3]

D = r1 + r2

Tangentes internas: Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

[pic 4]

D = r1 – r2

• Possuem dois pontos em comum (secantes)

Secantes: Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

[pic 5]

|r1 – r2| < d < r1 + r2

• Possuem o centro em comum (concêntrica)

Concêntricas: Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

[pic 6]

D = 0

Exercícios Resolvidos

1. Qual a posição relativa de duas circunferências de raios r e f, sendo d a distância entre seus centros, em cada caso abaixo:
   [pic 7]
   a) r = 2 cm, R = 4 cm, d = 7 cm
   b) r = 3 cm, R = 4 cm, d = 7 cm
   c) r = 3 cm, R = 7 cm, d = 4 cm
   d) r = 4 cm, R = 6 cm, d = 1 cm

[pic 8] 

Portanto, são externas.

[pic 9]

Portanto, são tangentes externas.

[pic 10]

Portanto, são tangentes internas.

[pic 11]

Portanto, são internas.

1. Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum

Resolvendo o sistema [pic 12], determinaremos se possuem pontos em comum.

[pic 13]

Resolvendo o sistema por Adição:

– 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x

Substituindo y em qualquer das equações:

x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0

2x² + 10x + 28 = 0

Resolvendo a equação por Bháskara:

∆ = b² – 4ac

∆ = 10² – 4 * 2 * 28

∆ = 100 – 224

...